Vektorprodukt

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H(50|70|15)\) beschrieben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt.

(Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\))

(7 BE)

Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\).

Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 BE)

Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\).

Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\))

(3 BE)

Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(4 BE)

Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als 20 m² durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteilen Sie, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist

(3 BE)

Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\))

(4 BE)

Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\).

(zur Kontrolle: \(V = 72\))

(2 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\))

(3 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\))

(3 BE)

Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet - mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle.

Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))

(5 BE)

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\).

Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\))

(4 BE)

Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\).
Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\).

Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\))

(4 BE) 

Der Würfel wird entlang der Ebene \(L\) geteilt. Berechnen Sie das Volumen der entstehenden Pyramide. Geben Sie an, wie viel Prozent des Würfelvolumens die Pyramide einnimmt. 

(4 BE)

Die Abbildung zeigt einen Würfel der Kantenlänge 6. Die Koordinaten der Eckpunkte \(A\,(0|0|0)\), \(D\,(0|6|0)\) und \(G\,(6|6|6)\) sind gegeben.

Die Punkte \(B\), \(E\) und \(G\) liegen in einer Ebene \(L\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. Zeichnen Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel schneidet, in die Abbildung ein.

(mögliches Ergebnis: \(L\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 6\))

(5 BE)

 (2 BE)

Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

(3 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

(3 BE)

Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet.

Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene \(F\) liegt.

(mögliches Teilergebnis: \(F\,\colon\, x_1 - x_2 = 0\)) 

(5 BE)