Analysis 1

Gemäß der Kettenregel gilt \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\). Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung 2 alle Stellen, an denen der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\).

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

(3 BE)

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\).

(2 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).

(4 BE)

Die Funktion \(F\) ist die in \(\mathbb R\) definierte Stammfunktion von \(f\) mit \(F(3) = 0\).

Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an.

(1 BE)

Gegeben ist ferner die in \(D_{h}\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle H_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} h(t) \,dt\).

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

α) Der Graph von \(H_{0}\) ist streng monoton steigend.

β) Der Graph von \(H_{0}\) ist rechtsgekrümmt.

(4 BE)

Berechnen Sie den Anteil (in Prozent), den das Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A\) am Inhalt des Flächenstücks einnimmt, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt.

(4 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x}\) und \(q\,\colon x \mapsto e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_q\) von \(q\) füe \(x \geq 0\).

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von \(p\) und geben Sie das Verhalten von \(p\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\) an.

(4 BE)

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))

(5 BE)

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) genau einen Wendepunkt \(W\) besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\))

(6 BE)

Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\).

(2 BE)

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 BE)

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten und umkehrbaren Funktion \(j\) an, die folgende Bedingungen erfüllt: Der Graph von \(j\) und der Graph der Umkehrfunktion von \(j\) haben keinen gemeinsamen Punkt.

(2 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{3}^{5} f(x) \,dx\).

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \, \colon x \mapsto \frac{x}{\ln x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+ \, \backslash \{1\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von \(f\).

(5 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktion \(f\)  mit \(f(x) = e^x \cdot \left( 2x + x^2 \right)\).

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).

(2 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))

(4 BE)

Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) betrachtet.

Einer der Graphen I, II und III ist der Graph von \(F\). Begründen Sie, dass dies Graph I ist, indem Sie jeweils einen Grund dafür angeben, dass Graph II und Graph III nicht infrage kommen.

(2 BE) 

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\).

Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an.

(2 BE)