Stochastik 2

Betrachtet wir das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A." Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

(3 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen 300 € beträgt.

(4 BE)

Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\).

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) für \(k \in \{0; 1; 2\}\).

Tragen Sie die fehlenden Werte in die Tabelle ein.

(2 BE)

Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0" erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „0", so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine „0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält.

(2 BE) 

In einem Supermarkt erhalten Kunden abhängig vom Wert ihres Einkaufs eine bestimmte Anzahl von Päckchen mit Tierbildern, die in ein Sammelalbum eingeklebt werden können. Jedes Päckchen enthält fünf Bilder. Im Sammelalbum sind Plätze für insgesamt 200 verschiedene Bilder vorgesehen. Die Bilder werden jeweils in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert und auf die Päckchen zufällig verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterscheiden müssen.

Begründen Sie, dass der Term \(\dfrac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{200^5}\) die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.

(2 BE)

Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

(3 BE)

Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. 20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

(5 BE)

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.

\(A\): „Anna und Tobias gehören dem Team an."

\(B\): „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen."

(3 BE)

Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel, wenn der Gewinn einer Eintrittskarte mit einer Auszahlung von fünfzehn Euro gleichgesetzt wird. Interpretieren Sie das Ergebnis.

(4 BE)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe 12 € ergeben.

(3 BE)

Ein Süßwarenunternehmen stellt verschiedene Sorten Fruchtgummis her.

Luisa nimmt an einer Betriebsbesichtigung des Unternehmens teil. Zu Beginn der Führung bekommt sie ein Tütchen mit zehn Gummibärchen, von denen fünf weiß. zwei rot und drei grün sind. Luisa öffnet das Tütchen und nimmt, ohne hinzusehen, drei Gummibärchen heraus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben.

(3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße \(X\) höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4 BE)

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße \(X\) festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) dargestellt.

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\).

(2 BE)

Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße \(X\) notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist. 

(3 BE)

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Aus den über 14-jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(M\): „Die Person besitzt ein Mobiltelefon."

\(S\): „Die Person ist 65 Jahre oder älter."

\(E\): „Mindestens eines der Ereignisse \(M\) und \(S\) tritt ein."

Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen I bis VI jeweils das Ereignis \(E\) beschreiben.

(2 BE)

Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

\(p_{1}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.

\(p_{2}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

(3 BE)

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis \(E\) mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_{S}(M)\).

(5 BE)

Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird.

(2 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(C\) und \(D\) stochastisch unabhängig sind.

\(C\): „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4."

\(D\): „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3."

(5 BE) 

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\sum \limits_{i\,=\,5}^{8}B\left( 25;\frac{1}{6};i \right)\) berechnet werden kann.

(2 BE)