Faktorregel

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.

(1 BE)

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))

(5 BE)

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\).

Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(2 BE)

Zusätzlich ist die Funktion \(F\) mit \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}\) und \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Zeigen Sie, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und begründen Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) = 0\) gilt.

(3 BE)

Zeigen Sie, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(k\) sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\).

(6 BE)

Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist \(x\) die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und \(k(x)\) die Wirkstoffkonzentration in \(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\).

Begründen Sie, dass der Graph von \(k\) streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: \(k'(x) = \dfrac{6e^{2x}}{\left( e^{2x} + 1 \right)^{2}}\))

(4 BE)

Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\).

Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

(3 BE)

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).

(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))

(3 BE)

Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat.

(4 BE)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft \(-30\frac{\textsf{1}}{\textsf{h}}\) beträgt.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right)\) und \(x \in \mathbb R\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\) sowie die einzige Nullstelle \(x = \ln 2\) von \(f\).

Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) gilt: \(f'(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 1 - 4e^{-x} \right)\).

(3 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\))

(4 BE)