1.5.8 Funktionsbestimmungen

Aufgaben zu Funktionsbestimmungen nennen Eigenschaften (Bedingungen) einer Funktion bzw. des Graphen einer Funktion, anhand derer der Funktionsterm zu bestimmen ist. Diese Eigenschaften können z.B. sein:

. Punkte auf dem Graphen der Funktion

- Nullstellen oder Polstellen

- Symmetrieverhalten des Graphen

- waagrechte Asymptoten (Verhalten im Unendlichen)

- Extremstellen oder die Steigung des Graphen an einer Stelle

- Terrassen- oder Wendepunkte

Mithilfe der Eigenschaften und einem allgemeinen von Parametern abhängigen Funktionsansatz werden Gleichungen formuliert. Es ergibt sich ein zu lösendes Gleichungssystem, wobei die Anzahl der benötigten Gleichungen durch die Anzahl der Parameter im Funktionsterm bestimmt wird.

 

Eigenschaften und Schlussfolgerungen (Gleichungen)

Die Tabelle gibt eine Übersicht über mögliche vorgegebene Eigenschaften des Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) und sich daraus ergebenden Gleichungen für die Bestimmung des Funktionsterms \(f(x)\).

 

Eigenschaft des Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) Gleichung(en)
Beliebiger Punkt \(P(x_{P}|y_{P}) \in G_{f}\) \(y_{P} = f(x_{P})\)

Steigung \(m_{T}\) bzw. Steigungswinkel \(\alpha\) einer Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\)

(vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung und 1.1.1 Lineare Funktion, Steigungswinkel)

\(m_{T} = f'(x_{0})\)

bzw.

\(\tan \alpha = f'(x_{0})\)

Extrempunkt \(E(x_{E}|y_{E}) \in G_{f}\)

(vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte)

\(y_{E} = f(x_{E})\)

\(f'(x_{E}) = 0\)

Wendepunkts \(W(x_{W}|y_{W}) \in G_{f}\)

(vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)

\(y_{W} = f(x_{W})\)

\(f''(x_{W}) = 0\)

Terrassenpunkts \(TeP(x_{TeP}|y_{TeP}) \in G_{f}\)

(vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte und 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)

\(y_{TeP} = f(x_{TeP})\)

\(f'(x_{TeP}) = 0\)

\(f''(x_{TeP}) = 0\)

  

Beispiel:

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph durch den Ursprung verläuft und den Terrassenpunkt \(TeP(3|3)\) hat.

 

Allgemeiner Ansatz:

 

\[f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\,; \enspace D_{f} = \mathbb R\]

 

Für die vier zu bestimmenden Parameter \(a, b, c\) und \(d\) wird ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen benötigt.

 

Analyse der Angabe:

 

Aus „... dessen Graph durch den Ursprung verläuft ..." folgt die erste Gleichung:

 

\[\begin{align*}f(0) &= 0 \\[0.8em] a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d &= 0 \\[0.8em] d &= 0 \end{align*}\]

 

Aus „...den Terrassenpunkt \(TeP(3|3)\) hat." folgen drei weitere Gleichungen:

 

\[\begin{align*}f(3) &= 3 \\[0.8em] a \cdot 3^{3} + b \cdot 3^{2} + c \cdot 3 + d &= 3 & &| \; d = 0 \\[0.8em] 27a +9b + 3c &= 3 \end{align*}\]

 

\(f'(3) = 0\) (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte)

\(f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + cx\) (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln)

\[\begin{align*} 3a \cdot 3^{2} + 2b \cdot 3 + c &= 0 \\[0.8em] 27a + 6b + c &= 0 \end{align*}\]

 

\(f''(3) = 0\) (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)

\(f''(x) = 6ax + 2b\) (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln)

\[\begin{align*} 6a \cdot 3 + 2b &= 0 \\[0.8em] 18a + 2b &= 0 \end{align*}\]

 

Es verbleibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für die drei noch zu bestimmenden Parameter \(a, b\) und \(c\).

 

\[\begin{align*} \text{I} & & &  27a + 9b + 3c = 3 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & 27a + 6b + \enspace c = 0 \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & 18a + 2b \; \qquad = 0 \end{align*}\]

 

Gleichungssystem lösen, z.B. mit dem Additions- und Einsetzungsverfahren:

 

\[\text{I} - \text{II} \colon \; 3b + 2c = 3 \quad (\text{IV}) \]

 

\[\begin{align*}\text{III} \colon \; 18a + 2b &= 0 & &| - 2b \\[0.8em] 18a &= -2b & &| : 18 \\[0.8em] a &= -\frac{1}{9}b \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} a = -\frac{1}{9}b \; \text{in II}\colon \; 27 \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) + 6b + c &= 0 \\[0.8em] -3b + 6b + c &= 0 \\[0.8em] 3b + c &= 0 \quad (\text{V}) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \text{IV} & & &  3b + 2c = 3 \\[0.8em] \text{V} & & \wedge \enspace & 3b + \enspace c = 0\end{align*}\]

 

\[\text{IV} - \text{V} \colon \; c = 3\]

 

\[\begin{align*}c = 3 \; \text{in V} \colon \; 3b + 3 &= 0 & &| - 3 \\[0.8em] 3b &= -3 & &| : 3 \\[0.8em] b &= -1\end{align*}\]

 

\[b = -1 \; \text{in III} \colon \; a = -\frac{1}{9} \cdot (-1) = \frac{1}{9}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = \frac{1}{9}x^{3} - x^{2} + 3x\]

 

Graph der ganzrationalen Funktion f mit Terrassenpunkt (3|3) und Nullstelle x = 0

Graph der ganzrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{9}x^{3} - x^{2} + 3x\)

 

Beispielaufgabe

Der Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{ax^{2} + bx}{cx - 2}\) mit \(a, b, c \in \mathbb R\) schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 0{,}5\) und besitzt die Polstelle \(x = 2\). Die Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 1\) schließt mit der positiven \(x\)-Achse einen Winkel von 45° ein.

Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\).

 

\[f(x) = \frac{ax^{2} + bx}{cx - 2}\,; \enspace a, b, c \in \mathbb R\]

 

Nullstelle \(x = 0{,}5\):

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad a \cdot 0{,}5^{2} + b \cdot 0{,}5 &= 0 \\[0.8em] 0{,}25a + 0{,}5b &= 0 \quad (\text{I}) \end{align*}\]

 

Polstelle \(x = 2\):

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad c \cdot 2 - 2 &= 0 & &| + 2 \\[0.8em] 2c &= 2 & &| : 2 \\[0.8em] c &= 1 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = \frac{ax^{2} + bx}{x - 2}\]

 

Der Winkel, den eine Gerade mit der positiven \(x\)-Achse einschließt, ist der Steigungswinkel der Geraden (vgl. 1.1.1 Lineare Funktion, Steigungswinkel). Die Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 1\) hat also den Steigungswinkel \(\alpha = 45^{\circ}\) und es gilt:

 

\[\begin{align*}m_{T} &= \tan{45^{\circ}} & &| \; m_{T} = f'(1) \\[0.8em] f'(1) &= \tan{45^{\circ}} \\[0.8em] f'(1) &= 1 \end{align*}\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) kann mithilfe der Quotientenregel sowie der Faktor-, Summen- und Potenzregel formuliert werden (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f(x) = \frac{ax^{2} + bx}{x - 2}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{(2ax + b) \cdot (x - 2) - (ax^{2} + bx) \cdot 1}{(x - 2)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2ax^{2} - 4ax + bx - 2b - ax^{2} - bx}{(x - 2)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{ax^{2} - 4ax - 2b}{(x - 2)^{2}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f'(1) &= 1 \\[0.8em] \frac{a \cdot 1^{2} - 4a \cdot 1 - 2b}{(1 - 2)^{2}} &= 1 \\[0.8em] \frac{-3a - 2b}{1} &= 1 \\[0.8em] -3a - 2b &= 1 \quad (\text{II}) \end{align*}\]

 

Lineares Gleichungssystem aufstellen:

Die Gleichungen I und II ergeben ein lineares Gleichungssystem für die noch zu bestimmenden Parameter \(a\) und \(b\). Das Gleichungssystem kann z.B. mithilfe des Additionsverfahrens gelöst werden.

 

\[\begin{align*} \text{I} & & &  0{,}25a + 0{,}5b = 0 & &| \cdot 4 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & -3a - \enspace \; 2b = 1 \\[2.4em] \text{I} & & & \quad \enspace \; a + 2b = 0  \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & -3a - 2b = 1 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \text{I} + \text{II} \colon \; -2a &= 1 & &| : (-2) \\[0.8em] a &= -0{,}5  \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}a = -0{,}5 \; \text{in I} \colon \; -0{,}5 + 2b &= 0 & &| + 0{,}5 \\[0.8em] 2b &= 0{,}5 & &| : 2 \\[0.8em] b &= 0{,}25  \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(x) = \frac{-0{,}5x^{2} +0{,}25x}{x - 2}\]

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion f mit Tangente T an der Stelle x = 1

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-0{,}5x^{2} +0{,}25x}{x - 2}\) mit Tangente \(T\) an der Stelle \(x = 1\)