Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an.

b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

a) Definitionsmenge der Funktion \(f\)

Anmerkung:

Die Definitionsmenge der Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

\[f(x) = 2(e^{x} - 1)^{2}\]

 

Der natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) ist in \(\mathbb R\) definiert.

Die Funktion \(f\) kann als Verkettung \(u \circ v\) mit \(u(x) = 2x^{2}\) und \(v(x) = e^{x} - 1\) betrachtet werden. Die äußere Funktion \(u\) und die innere Funktion \(v\) sind in \(\mathbb R\) definiert. Somit ist \(f(x) = u(v(x))\) ebenfalls in \(\mathbb R\) definiert.

 

\[D_{f} = \mathbb R\]

 

b) Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) und Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\)

 

\[f(x) = 2(e^{x} - 1)^{2}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\)

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} 2(e^{x} - 1)^{2} \\[0.8em] &= 2 \cdot \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{(\underbrace{e^{x}}_{\to\,0} - 1)^{2}}_{\to\,1} \\[0.8em] &= 2 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 2(e^{x} - 1)^{2} \\[0.8em] &= 2 \cdot \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \underbrace{(\underbrace{e^{x}}_{\to\,+\infty} - 1)^{2}}_{\to\,+\infty} \\[0.8em] &= +\infty \end{align*}\]

 

Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\)

Aus \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = 2\) folgt, dass \(G_{f}\) für \(x \to-\infty\) die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\) besitzt. Weitere Asymptoten gibt es nicht.

 

c) Nachweis, dass der Koordinatenursprung globales Minimum der Funktion \(f\) ist und Wertemenge von \(f\)

 

\[f(x) = 2(e^{x} - 1)^{2}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Nachweis, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist

Es ist nachzuweisen, dass \(G_{f}\) als einzigen Extrempunkt einen absoluten Tiefpunkt an der Stelle \(x = 0\) besitzt.

 

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\):

An den Extremstellen besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\),

Folglich lautet die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\):

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die Funktion \(f\) lässt sich mithilfe der Kettenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.

 

\[f(x) = 2(e^{x} - 1)^{2}; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[\begin{align*} f'(x) &= 2 \cdot 2 \cdot (e^{x} - 1) \cdot (e^{x} - 0) \\[0.8em] &= \underbrace{4e^{x}}_{>\,0} (e^{x} - 1) \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(f'\) berechnen:

 

\[\begin{align*}f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad e^{x} - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] e^{x} &= 1 & &| \; a^{x} = b \enspace \Longleftrightarrow \enspace x = \log_{a}{b} \\[0.8em] x &= \ln{1} & &| \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad e^{x} - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] e^{x} &= 1 & &| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{e^{x}} &= \ln{1} & &| \; \ln{e^{x}} = x \; \left( \text{allg.:} \; \log_{a}{a^{x}} = x \right); \; \log_{a}{1} = 0 \\[0.8em] x &= 0 \end{align*}\]

 

An der Stelle \(x = 0\) besitzt \(G_{f}\) eine waagrechte Tangente, welche auf einen Extrempunkt (bzw. einen Terrassenpunkt) von \(G_{f}\) hinweist.

 

Nachweis der Art des Extrempunkts:

\[f'(x) = \underbrace{4e^{x}}_{>\,0} (e^{x} - 1)\]

 

Der Faktor \((e^{x} - 1)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\) in der Umgebung der Stelle \(x = 0\).

Es git: \(e^{x} < 1\) für \(x < 0\) und \(e^{x} > 1\) für \(x > 0\).

 

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x < 0 \\[0.8em] &f'(0) = 0 \\[0.8em] &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{absoluter Tiefpunkt}\; TiP(0|f(0))\]

 

Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:

 

\[f'(x) = \underbrace{4e^{x}}_{>\,0} (e^{x} - 1)\]

 

\(x\) \(x < 0\) \(x = 0\) \(x > 0\)
\(4e^{x}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((e^{x} - 1)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) absoluter Tiefpunkt \(TiP(0|f(0))\) \(\nearrow\)

Da der Graph \(G_{f}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit \(f'(x) < 0\) für \(x < 0\) streng monoton fällt und mit \(f'(x) > 0\) für \(x > 0\) streng monoton steigt, muss \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 0\) den absoluten Tiefpunkt \(TiP(0|f(0))\) besitzen.

 

\(y\)-Koordinate des absoluten Tiefpunkts berechnen:

 

\[f(x) = 2(e^{x} - 1)^{2}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[f(0) = 2(e^{0} - 1)^{2} = 2(1 - 1)^{2} = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Absoluter Tiefpunkt \(TiP(0|0)\)

 

Schlussfolgerung:

Der Koordinatenursprung ist absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\).

 

Wertemenge der Funktion \(f\)

Anmerkung:

Die Wertemenge der Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

Mit \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = +\infty\) und dem Koordinatenursprung als absoluten Tiefpunkt von \(G_{f}\) folgt:

 

\[W_{f} = \mathbb R^{+}_{0} = [0;+\infty[\]

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