Teilaufgabe 2a

Stochastik I

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Aus dem Bewerberfeld werden zwanzig weibliche und zehn männliche Personen zu einem Casting eingeladen, das in zwei Gruppen durchgeführt wird. Fünfzehn der Eingeladenen werden für die erste Gruppe zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für die erste Gruppe zehn weibliche und fünf männliche Personen ausgewählt werden, wird mit \(p\) bezeichnet.

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass \(p\) nicht durch den Term

\[\binom{15}{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{10}\]

beschrieben wird.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

1. Argumentation mit Urnenmodell

Der Term \(\displaystyle \binom{15}{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{10}\) bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 15 ausgewählten Personen für die erste Gruppe genau 5 männliche Personen sind nach dem Urnenmodel "Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge".

Da jede der eingeladenen Personen aber höchstens eimmal für die erste Gruppe ausgewählt werden kann, ist das Urnenmodell "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" zutreffend.

Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Werden aus einer Urne mit \(N\) Kugeln, von denen \(K\) Kugeln schwarz sind, \(n\) Kugeln mit einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) schwarze Kugeln zu ziehen:

\[P(\text{„genau}\,k\,\text{schwarze Kugeln"}) = \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}\]

(vgl. Merkhilfe)

2. Argumentation mit Binomialverteilung

Der Term \(\displaystyle \binom{15}{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{10}\) bestimmt die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 5)\) einer nach \(B(15;\frac{1}{3})\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) "Anzahl der männlichen Personen".

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Da das Bewerberfeld aber lediglich aus 30 Personen besteht kann für die Betrachtung der 15 Personen der ersten Gruppe keine konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p_M = \frac{1}{3}\) (Anteil der männlichen Eingeladenen) vorausgesetzt werden. Somit sind die Bedingungen für eine Binomialverteilung nicht erfüllt.

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