Teilaufgabe 1d

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse und die Gerade \(x = u\) mit \(u \in \mathbb R^+\) schließen für \(0 \leq x \leq u\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(u)\) ein.

Zeigen Sie, dass \(A(u) = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) gilt. Geben Sie \(\lim \limits_{u \, \to \, + \infty} A(u)\) an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Nachweis, dass \(\displaystyle A(u) = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) gilt

 

1. Lösungsansatz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) anwenden

\(\displaystyle F(u) = \int_0^u f(x)\,dx = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) (siehe Angabe)

\[f(u) = 2u \cdot e^{-0{,}5u^2}\]

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F'(u) = f(u)\]

 

\[\begin{align*} F'(u) &= \left( 2 - 2e^{-0{,}5u^2} \right)' \\[0.8em] &= 0 - 2e^{-0{,}5u^2} \cdot (-0{,}5) \cdot 2u \\[0.8em] &= 2u \cdot e^{-0{,}5u^2} \\[0.8em] &= f(u) \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Integral \(\displaystyle \int_0^u f(x)\,dx\) bestimmen

 

  • Flächeninhalt A(u) - Grafik 1
    Flächeninhalt A(u) - Grafik 1
  • Flächeninhalt A(u) - Grafik 2
    Flächeninhalt A(u) - Grafik 2
  • Flächeninhalt A(u) - Grafik 3
    Flächeninhalt A(u) - Grafik 3
  • Flächeninhalt A(u) - Grafik 1
  • Flächeninhalt A(u) - Grafik 2
  • Flächeninhalt A(u) - Grafik 3

Der Flächeninhalt \(A(u)\) des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x = u\) mit \(u \in \mathbb R^+\) für \(0 \leq x \leq u\) einschließt, ist gleich dem Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_0^u f(x)\, dx\).

 

\[A(u) = \int_0^u f(x)\, dx\,; \quad u \in \mathbb R^+\]

Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) bestimmen:

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\]

Mit \(g(x) = -0{,}5x^2\) und \(g'(x) = -x\) folgt:

\[f(x) = -2 \cdot g'(x) \cdot e^{\,g(x)} = -2 \cdot (-x) \cdot e^{-0{,}5x^2}\]

\[F(x) = -2 \cdot e^{-0{,}5x^2} + C\]

 

Flächeninhalt \(A(u)\) bestimmen:

\[\begin{align*} A(u) &= \int_0^u f(x)\,dx \\[0.8em] &= \left[ -2 \cdot e^{-0{,}5x^2} \right]_0^u \\[0.8em] &= -2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot u^2} - \left( -2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0^2} \right) \\[0.8em] &= -2 \cdot e^{-0{,}5u^2} + 2 \\[0.8em] &= 2 - 2e^{-0{,}5u^2} \end{align*}\]

 

Grenzwert \(\displaystyle \lim \limits_{u \, \to \, + \infty} A(u)\)

 

\[\lim \limits_{u \, \to \, + \infty} A(u) = \lim \limits_{u \, \to \, + \infty} \biggl( 2 - \underbrace{2e^{-0{,}5u^2}}_{\to \, 0} \biggr) = 2\]

 

Geometrische Deutung:

Der Flächeninhalt der vom Graphen der Funktion \(f\) und der positiven \(x\)-Achse eingeschlossenen, sich ins Unendliche erstreckenden Fläche, ist mit 2 FE (Flächeneinheiten) endlich.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 1e »