Teilaufgabe 4a

Abbildung 1Abb. 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) der Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \([-2;2]\). Der Graph besteht aus zwei Halbkreisen, die die Mittelpunkte \((-1|0)\) bzw. \((1|0)\) sowie jeweils den Radius 1 besitzen. Betrachtet wird die in \([-2;2]\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon \mapsto \int_0^x f(t)\,dt\).

Geben Sie \(F(0)\), \(F(2)\) und \(F(-2)\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4a

 

\[F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\,; \quad D = [-2;2]\]

\[F(0) = \int_0^0 f(t)\,dt = 0\]

 

\[F(2) = \int_0^2 f(t)\,dt \]

Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_0^2 f(t)\,dt\) ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts \(A\) des Halbkreises mit dem Mittelpunkt \((1|0)\) und dem Radius 1.

\[A_{\text{Halbkreis}} = \frac{1}{2}r^{2}\pi\]

 

\[F(2) = \int_0^2 f(t)\,dt = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}\]

\[F(-2) = \int_0^{-2} f(t)\,dt = - \int_{-2}^0 f(t)\,dt = -\frac{\pi}{2}\]

Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_0^{-2} f(t)\,dt\) zählt den Flächeninhalt \(A\) negativ, da „nach links" integriert wird.

 

Flächeninhalte der Halbkreise mit dem Mittelpunkt (-1|0) bzw. (1|0) und dem Radius 1

\(\displaystyle F(-2) = \int_0^{-2} f(t)\,dt = -A\,;\) \(\displaystyle F(2) = \int_0^2 f(t)\,dt = A\)

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