Teilaufgabe 3c

Für welche Füllhöhen \(x\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad 0 \leq x \leq 15\]

 

Graphische Lösung

Graph von f für 0 ≤ x ≤ 15 und Gerade y = 5

Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte zwischen \(G_f\) und der Geraden \(y = 5\) legen das Intervall für die Füllhöhen \(x\) fest, für die der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch liegt.

Im Rahmen der Ablesegenauigkeit entnimmt man für \(f(x) \leq 5\,\):

\[0{,}5 \leq x \leq 9{,}5\]

 

Für die Füllhöhen \(0{,}5 \leq x \leq 9{,}5\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch.

 

Rechnerische Lösung

 

\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad 0 \leq x \leq 15\]

 

\[\begin{align*} f(x) &\leq 5 \\[0.8em] \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1} &\leq 5 & &| +\frac{1}{2} \\[0.8em] \frac{1}{2}x + \frac{8}{x + 1} &\leq 5{,}5 & &| \cdot 2 \\[0.8em] x + \frac{16}{x + 1} &\leq 11 & &| \cdot (x + 1) \\[0.8em] x(x + 1) + 16 &\leq 11(x +1) \\[0.8em] x^2 + x + 16 &\leq 11x + 11 & &| -11x - 11 \\[0.8em] x^2 - 10x + 5 &\leq 0  \end{align*}\]

 

Zur Lösung der quadratischen Ungleichung wird der quadratische Term als Produkt zweier Linearfaktoren formuliert. Dafür löst man zunächst die quadratische Gleichung \(x^2 - 10x + 5 = 0\).

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} \\[0.8em] &= \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} \\[0.8em] &= 5 \pm 2\sqrt{5} \end{align*}\]

\[x_1 = 5 - 2\sqrt{5} \enspace \vee \enspace x_2 = 5 + 2\sqrt{5}\]

 

Quadratische Ungleichung als Produkt zweier Linearfaktoren formulieren:

 

\[\begin{align*}x^2 - 10x + 5 &\leq 0 \\[0.8em] \left[ x - (5 - 2\sqrt{5}) \right] \cdot \left[ x - (5 + 2\sqrt{5}) \right] &\leq 0 \end{align*}\]

 

Zwei Fälle unterscheiden:

 

1. Fall:

\[\begin{align*} x - (5- 2\sqrt{5}) &\geq 0 & &\wedge & x - (5 + 2\sqrt{5}) &\leq 0 \\[0.8em] x &\geq 5 - 2\sqrt{5} & &\wedge & x &\leq 5 + 2\sqrt{5} \\[0.8em] x &\gtrapprox 0{,}53 & &\wedge & x &\lessapprox 9{,}47 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad x \in [5 - 2\sqrt{5}; 5 + 2\sqrt{5}]\]

Für Füllhöhen \(x\) mit \(x \in [5 - 2\sqrt{5}; 5 + 2\sqrt{5}]\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch.

 

2. Fall:

\[\begin{align*} x - (5- 2\sqrt{5}) &\leq 0 & &\wedge & x - (5 + 2\sqrt{5}) &\geq 0 \\[0.8em] x &\leq 5 - 2\sqrt{5} & &\wedge & x &\geq 5 + 2\sqrt{5} \\[0.8em] x &\lessapprox 0{,}53 & &\wedge & x &\gtrapprox 9{,}47 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) keine Lösung

 

Alternative graphisch-rechnerische Lösung

Als teilweise graphische Alternative, ohne die Ungleichung lösen zu müssen, können zunächst die Nullstellen \(x_{1} = 5 - 2\sqrt{5}\) und \(x_{2} = 5 +2\sqrt{5}\) der Funktion \(x \mapsto x^{2} - 10x + 5\) mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnet werden (siehe oben). Anschließend skizziert man die nach oben geöffnete Parabel dieser Funktion (Skizze genügt!) und kennzeichnet die Nullstellen sowie den Bereich \(]x_{1};x_{2}[\,\), in dem die Parabel unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Schlussfolgerung: \(x^2 - 10x + 5 \leq 0\) für \(x \in [5 - 2\sqrt{5}; 5 + 2\sqrt{5}]\)

Für Füllhöhen \(x\) mit \(x \in [5 - 2\sqrt{5}; 5 + 2\sqrt{5}]\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch.

Nullstellen und Parabel der Funktion x ↦ x²-10x+5

Parabel der Funktion \(x \mapsto x^{2} - 10x + 5\) sowie Nullstellen \(x_{1} = 5-2\sqrt{5}\) und \(x_{2} = 5 +2\sqrt{5}\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3b