Teilaufgabe b
Lösung zu Teilaufgabe b
Der Neigungswinkel der Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet werden soll (Rechteck \(BCHG\)), entspricht beispielsweise dem Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren \(\overrightarrow{CD}\) und \(\overrightarrow{CH}\).
\[ \cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{CH}}{\vert \overrightarrow{CD} \vert \cdot \vert \overrightarrow{CH} \vert}\]
Vektoren \(\overrightarrow{CD}\) und \(\overrightarrow{CH}\) berechnen:
\(C\,(8|10|5)\), \(D\,(0|10|5)\), \(H\,(4|10|8)\) (siehe Abbildung zur Aufgabengruppe)
\[\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\]
Neigungswinkel berechnen:
\[\begin{align*} \cos{\alpha} &= \frac{\overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{CH}}{\vert \overrightarrow{CD} \vert \cdot \vert \overrightarrow{CH} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{(-8) \cdot (-4) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 3}{\sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2}} \\[0.8em] &= \frac{32}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{25}} \\[0.8em] &= \frac{32}{8 \cdot 5} = \frac{4}{5} & &| \;\cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 36{,}87^{\circ} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \alpha > 35^{\circ}\]
\(\Longrightarrow \quad\) Die Errichtung einer Dachgaube ist zulässig.
