Teilaufgabe 2a

Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(4|4|2)\), \(C\,(8|0|2)\), \(D\,(4|-4|0)\) und \(S\,(1|1|-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Orthogonalität zweier Vektoren, Betrag eines Vektors

 

\[A\,(0|0|0)\,, \enspace B\,(4|4|2)\,, \enspace C\,(8|0|2)\,, \enspace D\,(4|-4|0)\]

 

1. Lösungsansatz: orthogonale Vektoren

 

Die Aufgabenstellung legt bereits fest, dass die Punktre \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein Parallelogramm bilden. Bei einem Parallelogramm sind wie bei einem Rechteck zwei anliegende Seiten verschieden lang. Damit ist es ausreichend, nachzuweisen, dass (mindestens) zwei anliegende Seiten des Parallelogramms \(ABCD\) einen rechten Winkel bilden. 

 

Nachweis, dass z.B. \(\overline{AB} \perp \overline{AD}\) gilt:

 

\[\overline{AB} \perp \overline{AD} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]

\[\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \circ (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) &= 0 & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \overrightarrow{B} \circ \overrightarrow{D} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 16 - 16 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) das Parallelogramm \(ABCD\) ist ein Rechteck.

 

Der nachfolgende 2. und 3. Lösungsansatz weist generell nach, dass die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein Rechteck bilden (ohne Berücksichtigung, dass diese ein Parallelogramm festlegen).

 

2. Lösungsansatz: Länge der Diagonalen, orthogonale Vektoren

Rechteck ABCD mit Diagonalen [AC] und [BD], Vektoren von A nach B und von A nach D

Das Parallelogramm ABCD ist ein Rechteck, wenn dessen Diagonalen gleich lang sind und zwei anliegende Seiten senkrecht zueinander stehen. Wenn also z.B. gilt: \(\overline{AC} = \overline{BD}\) und \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) (Zeichnung nicht maßstabsgetreu).

 

Nachweis, dass \(\overline{AC} = \overline{BD}\) gilt:

\[\begin{align*} \overline{AC} &= \overline{BD} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{AC} \vert &= \vert \overrightarrow{BD} \vert \\[0.8em] \vert \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \vert &= \vert \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} \vert \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -8 \\ -2 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \sqrt{8^{2} + 0^{2} + 2^{2}} &= \sqrt{0^{2} + (-8)^{2} + (-2)^{2}} \\[0.8em] \sqrt{68} &= \sqrt{68} \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

Nachweis, dass \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) gilt:

\[\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \circ (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) &= 0 & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \overrightarrow{B} \circ \overrightarrow{D} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 16 - 16 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) bilden ein Rechteck.

 

3. Lösungsansatz: Länge zweier anliegender Seiten, orthogonale Vektoren

Rechteck \(ABCD\) mit [AB] ≠ [AD] und [AB] ⊥ [AD]

Das Parallelogramm ABCD ist ein Rechteck, wenn zwei anliegende Seiten verschieden lang sind und diese senkrecht zueinander stehen. Wenn also z.B. gilt: \(\overline{AB} \neq \overline{AD}\) und \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) (Zeichnung nicht maßstabsgetreu).

 

Nachweis, dass \(\overline{AB} \neq \overline{AD}\) gilt:

\[\begin{align*} \overline{AB} &\neq \overline{AD} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{AB} \vert &\neq \vert \overrightarrow{AD} \vert \\[0.8em] \vert (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \vert &\neq \vert (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) \vert & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \vert \overrightarrow{B} \vert &\neq \vert \overrightarrow{D} \vert \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right| &\neq \left| \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 2^{2}} &\neq \sqrt{4^{2} + (-4)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] \sqrt{36} &\neq \sqrt{32} \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

Nachweis, dass \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\) gilt:

\[\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &= 0 \\[0.8em] (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \circ (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) &= 0 & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] \overrightarrow{B} \circ \overrightarrow{D} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 16 - 16 &= 0 \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) bilden ein Rechteck.

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