Teilaufgabe 2b

Bestimmen Sie unter Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte \(B\) und \(S\) verläuft.

Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Geradengleichung in Parameterform

 

Nachfolgend seien drei Möglichkeiten für ein geeignetes Koordinatensystem erläutert.

 

1. Möglichkeit: Punkt \(A\) liegt im Koordinatenursprung

 

Pyramide ABCDS mit einbeschriebener Stufenpyramide, Gerade BS

Wählt man Punkt \(A\) als Ursprung des Koordinatensystems und die Strecke \([AB]\) auf der \(x_{2}\)-Achse sowie die Strecke \([AD]\) auf der \(x_{1}\)-Achse, liegt die Pyramide \(ABCDS\) im II. Oktanten.

 

Koordinaten der Punkte \(B\) und \(S\) entnehmen:

 

\[B\,(0|7|0)\,, \enspace S\,(-3{,}5|3{,}5|3{,}5)\]

 

Gleichung der Geraden \(BS\) bestimmen:

Es sei \(B\) der Aufpunkt der Geradengleichung von \(BS\).

 

\[\begin{align*}BS \colon \overrightarrow{X} &= \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{BS} \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \overrightarrow{B} + \mu \cdot (\overrightarrow{S} - \overrightarrow{B}) \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \left[\begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ -3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Punkt \(B\) liegt im Koordinatenursprung

 

Pyramide ABCDS mit einbeschriebener Stufenpyramide, Gerade BS

Wählt man Punkt \(B\) als Ursprung des Koordinatensystems und die Strecke \([AB]\) auf der \(x_{2}\)-Achse sowie die Strecke \([BC]\) auf der \(x_{1}\)-Achse, liegt die Pyramide \(ABCDS\) im III. Oktanten.

 

Koordinaten der Punkte \(B\) und \(S\) entnehmen:

 

\[B\,(0|0|0)\,, \enspace S\,(-3{,}5|-3{,}5|3{,}5)\]

 

Gleichung der Geraden \(BS\) bestimmen:

Es sei \(B\) der Aufpunkt der Geradengleichung von \(BS\).

 

\[\begin{align*}BS \colon \overrightarrow{X} &= \overrightarrow{B} + \lambda \cdot \overrightarrow{BS} & &| \; \overrightarrow{B} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \lambda \cdot \overrightarrow{S} \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ -3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

3. Möglichkeit: Punkt \(C\) liegt im Koordinatenursprung

 

Pyramide ABCDS mit einbeschriebener Stufenpyramide, Gerade BS

Wählt man Punkt \(C\) als Ursprung des Koordinatensystems und die Strecke \([DC]\) auf der \(x_{2}\)-Achse sowie die Strecke \([BC]\) auf der \(x_{1}\)-Achse, liegt die Pyramide \(ABCDS\) im IV. Oktanten.

 

Koordinaten der Punkte \(B\) und \(S\) entnehmen:

 

\[B\,(7|0|0)\,, \enspace S\,(3{,}5|-3{,}5|3{,}5)\]

 

Gleichung der Geraden \(BS\) bestimmen:

Es sei \(B\) der Aufpunkt der Geradengleichung von \(BS\).

 

\[\begin{align*}BS \colon \overrightarrow{X} &= \overrightarrow{B} + \nu \cdot \overrightarrow{BS} \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \overrightarrow{B} + \nu \cdot (\overrightarrow{S} - \overrightarrow{B}) \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \nu \cdot \left[\begin{pmatrix} 3{,}5 \\ -3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] BS \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \nu \cdot \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ -3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

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