Teilaufgabe 2b

Gegeben ist ferner die in \(D_{h}\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle H_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} h(t) \,dt\).

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

α) Der Graph von \(H_{0}\) ist streng monoton steigend.

β) Der Graph von \(H_{0}\) ist rechtsgekrümmt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Eigenschaften des Graphen einer Integralfunktion mithilfe des Graphen der Integrandenfunktion bestimmen

 

\[h(x) = \frac{3}{e^{x+1}-1}\,; \enspace D_{h} = ]-1;+\infty[\]

\[H_{0}(x) = \int_{0}^{x} h(t)\,dt\,; \enspace x \in D_{h}\]

 

Begründung für α) Der Graph von \(H_{0}\) ist streng monoton steigend.

 

Verlauf des Graphen der Funktion h

Der Graph der Funktion \(h\) verläuft für \(x \in D_{h}\) oberhalb der \(x\)-Achse.

Folglich gilt: \(h(x) > 0\).

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[H'_{0}(x) = h(x)\]

 

\[\left. \begin{align*} &h(x) > 0 \\ &H'_{0}(x) = h(x) \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace H'_{0}(x) > 0\]

\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph von \(H_{0}\) ist streng monoton steigend.

 

Begründung für β) Der Graph von \(H_{0}\) ist rechtsgekrümmt.

 

Verlauf des Graphen der Funktion h

Der Graph der Funktion \(h\) ist für \(x \in D_{h}\) streng monoton fallend.

Folglich gilt: \(h'(x) < 0\).

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[H''_{0}(x) = h'(x)\]

 

\[\left. \begin{align*} &h'(x) < 0 \\ &H''_{0}(x) = h'(x) \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace H''_{0}(x) < 0\]

\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph von \(H_{0}\) ist rechtsgekrümmt.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »