Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse und begründen Sie, dass \(G_{f}\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der \(y\)-Achse, Wertebereich einer Funktion

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

 

Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse

 

\[f(0) = e^{\frac{1}{2} \cdot \, 0} + e^{-\frac{1}{2} \cdot \, 0} = e^{0} + e^{0} = 1 + 1 = 2\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{y}(0|2)\]

 

Begründung, dass \(G_{f}\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) ist in \(\mathbb R\) definiert und besitzt den Wertebereich \(W = \mathbb R^{+}\).

 

\[f(x) = \underbrace{e^{\frac{1}{2}x}}_{>\, 0} + \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x}}_{> \, 0}\]

 

\(\Longrightarrow \quad f(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\)

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse.

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