Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie die Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|f(2))\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt \(P\) und die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(-4 \leq x \leq 4\), \(-1 \leq y \leq 9\)).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Tangentensteigung

 

Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|f(2))\)

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

\[P(2|f(2))\]

\[m_{g} = f'(2)\]

 

Aus Teilaufgabe 1c ist bekannt:

 

\[f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right)\]

 

\[\begin{align*}m_{g} &= f'(2) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2} \cdot 2} - e^{-\frac{1}{2} \cdot 2} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( e - e^{-1} \right) \\[0.8em] &\approx 1{,}2 \end{align*}\]

 

Einzeichnen des Punktes \(P\) und der Geraden \(g\) in ein Koordinatensystem

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

\[P(2|f(2))\]

 

\[f(2) = e^{\frac{1}{2} \cdot 2} + e^{\frac{1}{2} \cdot 2} = e + e^{-1} \approx 3{,}1\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(2|3{,}1)\]

 

Um die Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P\) zu zeichnen, wählt man entweder ausgehend vom Punkt \(P\) ein der Tangentensteigung \(m_{g}\) entsprechendes Steigungsdreieck, oder man ermittelt die vollständige Gleichung der Tangente \(g\).

Im Falle eines Steigungsdreiecks, ist es sinnvoll, die Tangentensteigung als ganzahligen Bruch anzugeben: \(m_{g} = 1{,}2 = \frac{6}{5}\). Das Steigungsdreieck wird damit genauer.

Ermittelt man die Tangentengleichung \(g \colon y = 1{,}2x + t\), erhält man mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) einen weiteren Punkt, um die Tangente \(g\) möglichst exakt in das Koordinatensystem einzeichnen zu können.

 

Ermitteln der Tangentengleichung (optional):

 

\[\begin{align*} g \colon y &= 1{,}2x + t \\[0.8em] P(2|3{,}1) \in g \colon 3{,}1 &= 1{,}2 \cdot 2 + t \\[0.8em] 3{,}1 &= 2{,}4 + t & &| - 2{,}4 \\[0.8em] 0{,}7 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad g \colon y = 1{,}2x + 0{,}7\]

 

Punkt P und Gerade g mit Steigungsdreieck

Punkt \(P\) und Gerade \(g\) (Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(P\)) mit Steigungsdreieck

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