Teilaufgabe 3b

Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t)\,dt\) mit Definitionsbereich \(D_{F} = [-5;5]\).

Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass \(F(5) = \frac{25}{4}\pi\) gilt.

Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von \(F\). Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.

 Abbildung links zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Abbildung Mitte zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Abbildung rechts zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Geometrische Berechnung eines Funktionswerts einer Integralfunktion, Graph einer Integralfunktion zuordnen

 

\[F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\, dt; \; D_{F} = [-5;5]\]

 

Nachweis, dass \(F(5) = \frac{25}{4}\pi\) gilt

 

\[F(5) = \int_{0}^{5} f(t)\, dt\]

 

Aus Teilaufgabe 3a ist bekannt, dass der Graph der Funktion \(f\) ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt \(M(0|0)\) und dem Radius \(r = 5\) ist. Folglich ist der Funktionswert \(F(5)\) gleich der Maßzahl des Flächeninhalts des Viertelkreises, den der Graph der Funktion \(f\) im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

 

Flächeninhalt des Viertelkreis, den der Graph von f im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

Flächeninhalt des Viertelkreises, den der Graph der Funktion \(f\) im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

 

\[F(5) = \int_{0}^{5} f(t)\, dt = \frac{1}{4} \cdot r^{2} \cdot \pi = \frac{1}{4} \cdot 5^{5} \cdot \pi = \frac{25}{4}\pi\]

 

Zuordnung und Begründung, welcher der Graphen A, B und C der Graph von \(F\) ist

 

\[F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\, dt; \; D_{F} = [-5;5]\]

 

 Abbildung links zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Abbildung Mitte zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Abbildung rechts zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

 

Graph A ist der Graph der Integralfunktion \(F\).

Gemäß der Aufgabenstellung erfolgt die Begründung nach dem Ausschlussprinzip.

 

Begründung, weshalb Graph B nicht in Frage kommt

 

1. Möglichkeit: Verlauf des Graphen B für \(x \in [-5;0[\) betrachten

 

Abbildung Mitte zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Graph B verläuft für \(x \in [-5;0[\) oberhalb der \(x\)-Achse.

 

Flächeninhalt des Viertelkreise, den der Graph der Funktion f im II. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt

Für \(x \in [-5;0[\) ist der Wert der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\, dt\) negativ, da „nach links" integriert wird. Folglich muss der Graph der Integralfunktion \(F\) für \(x \in [-5;0[\) unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen (und nicht oberhalb wie bei Graph B).

 

\(F(x) < 0\) für \(x \in [-5;0[\)

 

\(\Longrightarrow \quad\) Graph B ist nicht der Graph von \(F\).

 

2. Möglichkeit: Extrempunkt von Graph B betrachten 

 

Abbildung Mitte zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Graph B zeigt an der Stelle \(x = 0\) einen Extrempunkt.

 

Hochpunkt des Graphen der Funktion f mit waagrechter Tangente, Vorzeichenwechsel der Tangentensteigung in der Umgebung des Hochpunkts von + nach - 

Der Graph der Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x = 0\) einen Hochpunkt mit waagrechter Tangente (Steigung der Tangente ist gleich Null). In der Umgebung des Hochpunkts wechselt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\).

 

\[\text{Hochpunkt}\; HoP(0|5) \enspace \Rightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < 0 \\[0.8em] &f'(0) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > 0 \end{align*} \right.\]

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F''(x) = f'(x)\]

 

Folglich hat der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = 0\) einen Wendepunkt (und keinen Extrempunkt wie ihn Graph B zeigt).

\[\left. \begin{align*} &F''(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < 0 \\[0.8em] &F''(x) = 0 \\[0.8em] &F''(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkt} \; W(0|F(0))\]

 

Das Vorzeichen von \(F''\) informiert zudem über das Krümmungsverhalten der Integralfunktion \(F\):

\(F''(x) > 0\) für \(x < 0\)

\(\Longrightarrow \quad\)\(G_{F}\) ist für \(x < 0\) linksgekrümmt.

 

\(F''(x) < 0\) für \(x > 0\)

\(\Longrightarrow \quad\)\(G_{F}\) ist für \(x > 0\) rechtsgekrümmt.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Graph B ist nicht der Graph von \(F\).

 

Begründung, weshalb Graph C nicht in Frage kommt

 

1. Möglichkeit: Krümungsverhalten von Graph C betrachten

 

Abbildung rechts zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016 

Graph C ist für \(x \in [-5;0[\) rechtsgekrümmt und für \(x \in ]0;5]\) linksgekrümmt.

 

Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion f für x < 0 und für x > 0 

Die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) ist für \(x < 0\) positiv und für \(x > 0\) negativ. Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\).

 

\(f'(x) > 0\) für \(x < 0\)

\(f'(x) < 0\) für \(x > 0\)

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F''(x) = f'(x)\]

 

Damit lässt sich für das Krümmungsverhalten der Integralfunktion \(F\) schlussfolgern:

\(F''(x) > 0\) für \(x < 0\)

\(\Longrightarrow \quad\)\(G_{F}\) ist für \(x < 0\) linksgekrümmt.

 

\(F''(x) < 0\) für \(x > 0\)

\(\Longrightarrow \quad\)\(G_{F}\) ist für \(x > 0\) rechtsgekrümmt.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Graph C ist nicht der Graph von \(F\).

 

2. Möglichkeit: Verhalten von Graph C an den Definitionsrändern betrachten

 

Abbildung rechts zu Teilaufgabe 3b - Analysis 2 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Für \(x \to -5\) und \(x \to 5\) geht die Steigung einer Tangente an Graph C gegen \(+\infty\).

 

Nullstellen x = -5 und x = 5 des Graphen der Funktion f

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}\) besitzt an den Rändern seines Definitionsbereichs \(D_{f} = [-5;5]\) Nullstellen.

 

\[f(-5) = 0\]

\[f(5) = 0\]

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F'(x) = f(x)\]

 

Somit gilt:

 

\[F'(-5) = f(-5) = 0\]

\[F'(5) = f(5) = 0\]

 

Die Ableitungsfunktion \(F'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Integralfunktion \(F\). Folglich muss die Steigung einer Tangente an \(G_{F}\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{F} = [-5;5]\) gleich Null sein. Das heißt, \(G_{F}\) muss an den Rändern des Definitionsbereichs ein waagrechte Tangente haben (und keine senkrechte Tangente wie bei Graph C).

 

\(\Longrightarrow \quad\) Graph C ist nicht der Graph von \(F\).

 

Schlussfolgerung

Nach dem Ausschlussprinzip ist Graph A der Graph von \(F\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3a Teilaufgabe 3c »