Lösung zu Teilaufgabe a
Koordinaten eines Punktes, Betrag eines Vektors
\(W_{1}(0|0|30)\), \(W_{2}(90|0|30)\), \(W_{3}(90|120|30)\), \(W_{4}(0|120|30)\)
\(A(45|60|0)\)
Die Punkte \(K_{0}\) und \(K_{1}\) liegen vertikal über dem Punkt \(A\) und haben somit die gleiche \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate wie der Punkt \(A\). Die \(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(K_{0}\) und \(K_{1}\) entnimmt man der Angabe zu \(x_{3} = 25\) bzw. \(x_{3} = 25 - 19 = 6\).
\[\Longrightarrow \quad K_{0}(45|60|25), \, K_{1}(45|60|6)\]
Betrachtet man beispielsweise die Punkte \(W_{1}\), \(K_{0}\) und \(K_{1}\), so ergibt sich die Seillänge \(\ell\), die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, als die Differenz der Längen der Strecken \([W_{1}K_{1}]\) und \([W_{1}K_{0}]\). Voraussetzung: Die Seile verlaufen geradlinig (vgl. Angabe).
\[\ell = \overline{W_{1}K_{1}} - \overline{W_{1}K_{0}}\]
Längen der Strecken \([W_{1}K_{1}]\) und \([W_{1}K_{0}]\) berechnen:
Betrag eines Vektors
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\(W_{1}(0|0|30)\), \(K_{0}(45|60|25)\), \(K_{1}(45|60|6)\)
\[\begin{align*}\overline{W_{1}K_{1}} &= \left| \overrightarrow{W_{1}K_{1}} \right| \\[0.8em] &= \left| \overrightarrow{K_{1}} - \overrightarrow{W_{1}} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 45 \\ 60 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 45 \\ 60 \\ -24 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{{45}^{2} + {60}^{2} + (-24)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{6201} \\[0.8em] &= 3\sqrt{689} \end{align*}\]
\[\begin{align*}\overline{W_{1}K_{0}} &= \left| \overrightarrow{W_{1}K_{0}} \right| \\[0.8em] &= \left| \overrightarrow{K_{0}} - \overrightarrow{W_{1}} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 45 \\ 60 \\ 25 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 45 \\ 60 \\ -5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{{45}^{2} + {60}^{2} + (-5)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{5650} \\[0.8em] & = 5\sqrt{226} \end{align*}\]
Seillänge \(\ell\) berechnen:
\[\ell = \overline{W_{1}K_{1}} - \overline{W_{1}K_{0}} = 3\sqrt{689} - 5\sqrt{226} \approx 3{,}58\]
Um ein vertikales Absenken der Kamera von Position \(K_{0}\) zu Position \(K_{1}\) zu bewirken, muss von jeder der vier Seilwinden die Seillänge 3,58 m abgerollt werden.