Teilaufgabe 1b

Auf der Strecke \([AB]\) gibt es einen Punkt \(D\), der von \(B\) dreimal so weit entfernt ist wie von \(A\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(D\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Vektoraddition

 

Der Punkt D teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 1 : 3.

Planskizze: Der Punkt \(D\) teilt die Strecke \([AB]\) im Verhältnis 1 : 3.

 

Der Ortsvektor \(\overrightarrow{D}\) lässt sich durch Vektoraddition wie folgt berechnen:

 

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe 1a)

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{D} &= \overrightarrow{A} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D(3|1|-6)\]

 

oder

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{D} &= \overrightarrow{B} - \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AB} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -12 \end{pmatrix} - \frac{3}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D(3|1|-6)\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1a Teilaufgabe 2a »