Teilaufgabe 1d

Der Graph von \(F\) verläuft durch den Punkt \((\ln 2|0{,}5)\). Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \(F\) keine größeren Werte als \(0{,}5\) annehmen kann und bei \(x = \ln 4\) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Extrempunkt und Wendepunkt des Graphen einer Stammfunktion

 

\[F(x) = 2e^{-x} -2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\]

\[(\ln{2}|0{,}5) \in G_{F}\]

 

Begründung, dass \(F\) keine größeren Werte als \(0{,}5\) annehmen kann

 

Abbildung 1 Aufgabe 1 Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2017 B

Laut der Angabe zu Aufgabe 1 und Abbildung 1 ist \(x = \ln{2}\) einzige Nullstelle der Funktion \(f\). Zudem zeigt der Verlauf von \(G_{f}\) in Abbildung 1, dass die Funktion \(f\) an der einfachen Nullstelle \(x = \ln{2}\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt.

 

\[f(\ln{2}) = 0\]

\(f(x) > 0\) für \(x < \ln{2}\)

\(f(x) < 0\) für \(x > \ln{2}\)

 

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt:

\[F'(x) = f(x)\]

 

Folglich ist \(x = \ln{2}\) einzige Extremstelle der Stammfunktion \(F\) und \(G_{F}\) besitzt den absoluten Hochpunkt \(HoP(\ln{2}|0{,}5)\). Damit kann die Stammfunktion \(F\) keine größeren Werte als \(0{,}5\) annehmen.

\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \; \text{für} \; x < \ln{2} \\[0.8em] &F'(\ln{2}) = 0 \\[0.8em] &F'(x) < 0 \; \text{für} \; x > \ln{2} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{absoluter Hochpunkt}\; HoP(\ln{2}|0{,}5)\]

 

Begründung, dass \(F\) bei \(x = \ln{4}\) eine Wendestelle besitzt

Aus Teilaufgabe 1b ist bekannt, dass \(x = \ln{4}\) die Extremstelle der Funktion \(f\) ist und \(G_{f}\) den Tiefpunkt \(TiP\Big( \ln{4} \Big| -\frac{1}{4}\Big)\) hat. Abbildung 1 bestätigt dieses Ergebnis.

Zudem wurde durch den Nachweis des Tiefpunkts in Teilaufgabe 1b gezeigt, dass \(f'(x) < 0\) für \(x < \ln{4}\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > \ln{4}\) gilt.

Mit \(F''(x) = f'(x)\) folgt daraus, dass die Stammfunktion \(F\) bei \(x = \ln{4}\) eine Wendestelle besitzt.

\[\left. \begin{align*} &F''(x) < 0 \; \text{für} \; x < \ln{4} \\[0.8em] &F''(\ln{4}) = 0 \\[0.8em] &F''(x) > 0 \; \text{für} \; x > \ln{4} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkt}\; W(\ln{4}|F(\ln{4}))\]

 

\(y\)-Koordinate des Wendepunkts von \(G_{F}\)

Die Stelle \(x = \ln{4}\) ist Wendestelle der Stammfunktion \(F\). Folglich hat der Wendepunkt des Graphen \(G_{F}\) die Koordinaten \(W(\ln{4}|F(\ln{4}))\).

 

\[F(x) = 2e^{-x} -2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} F(\ln{4}) &= 2e^{-\ln{4}} - 2e^{-2\ln{4}} & &| \; n \cdot \log_{a}{b} = \log_{a}\left( b^{n} \right) \\[0.8em] &= 2e^{\ln\big( 4^{-1} \big)} - 2e^{\ln\big( 4^{-2} \big)} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 2e^{\left( \frac{1}{4} \right)} - 2e^{\ln\left( \frac{1}{4^{2}} \right)} & &| \; e^{\ln{x}} = x \; \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{16} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \\[0.8em] &= \frac{3}{8} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad W \left( \ln{4} \bigg| \frac{3}{8} \right)\]

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