Teilaufgabe c

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Ebenengleichung in Normalenform

 

Viereck ABCD, Ebene E

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger Vektoren, beispielsweise der Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\), liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(B\), \(C\) oder \(D\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) bestimmen:

Die Vektoren sind ggf. bereits aus Teilaufgabe 1b bekannt.

 

\(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 & \cdot & 4 & - & 0 & \cdot & 8 \\ 0 & \cdot & (-4) & - & 2 & \cdot & 4 \\ 2 & \cdot & 8 & - & 6 & \cdot & (-4) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 24 \\ -8 \\ 40 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 8 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform formulieren:

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, \; A(0|0|1)\]

 

\[\begin{align*} &E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \\[0.8em] &E \colon \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0 \end{align*}\]

 

Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot (x_{1} - 0) + (-1) \cdot (x_{2} - 0) + 5 \cdot (x_{3} - 1) &= 0 \\[0.8em] 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}, \; A(0|0|1)\]

 

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} A \in E \colon 3 \cdot 0 - 0 + 5 \cdot 1 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 5 + n_{0} &= 0 & &| - 5 \\[0.8em] n_{0} &= -5 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\] 

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