Teilaufgabe b

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Ebenengleichung in Normalenform

 

Das Dreieck DAS repräsentiert die Ebene F.

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger Vektoren, beispielsweise der Ortsvektoren \(\overrightarrow{D}\) und \(\overrightarrow{S}\), liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{F}\) der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt. Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(D\) oder \(S\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Linear unabhängige Ortsvektoren \(\overrightarrow{D}\) und \(\overrightarrow{S}\):

\(D(0|5|0)\), \(S(2{,}5|2{,}5|6)\)

 

\(\overrightarrow{D} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}\)

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{F}\) der Ebene \(F\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{D} \times \overrightarrow{S} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 5 & \cdot & 6 & - & 0 & \cdot & 2{,}5 \\ 0 & \cdot & 2{,}5 & - & 0 & \cdot & 6 \\ 0 & \cdot & 2{,}5 & - & 5 & \cdot & 2{,}5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ -12{,}5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 2{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{F} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform formulieren:

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(F\).

 

\[\overrightarrow{n}_{F} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}, \; A(0|0|0)\]

 

\[\begin{align*} &F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \\[0.8em] &F \colon \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &F \colon \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \circ \overrightarrow{X} = 0 \end{align*}\]

 

Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \circ \overrightarrow{X} = 0 \\[0.8em] 12 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + (-5) \cdot x_{3} &= 0 \\[0.8em] 12x_{1} - 5x_{3} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(F\).

 

\[\overrightarrow{n}_{F} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}, \; A(0|0|0)\]

 

\[F \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[F \colon 12x_{1} - 5x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} A \in F \colon 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] n_{0} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\]

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