Teilaufgabe 1d

Im Folgenden wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F_{1}\) mit \(\displaystyle F_{1}(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt\) betrachtet.

\(F_{1}\) hat für \(0 \leq x \leq 10\) zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

\[F_{1}(x) = \int_{1}^{x} f(t)dt; \; 0 \leq x \leq 10\]

Die Integralfunktion \(F_{1}\) hat an der unteren Integrationsgrenze die ganzzahlige Nullstelle \(x_{1} = 1\).

 

Jeder Funktionswert \(F_{1}(x)\) mit \(0 \leq x \leq 10\) lässt sich als Flächenbilanz der Flächenstücke interpretieren, die \(G_{f}\) in einem betrachteten Intervall mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

Flächenbilanz der Integralfunktion F₁ für x = 9
Im Intervall \([1;9]\) schließt \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse zwei flächeninhaltsgleiche Flächenstücke ein, welche in die Betrachtung der Flächenbilanz mit unterschiedlichem Vorzeichen eingehen. Das heißt, \(x_{2} = 9\) ist die zweite ganzzahlige Nullstelle von \(F_{1}\), da die Flächenbilanz von \(\displaystyle F_{1}(9) = \int_{1}^{9}f(t) dt\) gleich Null ist.
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