Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Die notwendige Bedingung für maximalen Gewinn lautet:

 

\[G'(x) = 0\]

 

Gewinnfunktion \(G\) beschreiben:

 

\[\begin{align*}G(x) &= E(x) - K(x) \\[0.8em] &= 23x - (x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20) \\[0.8em] &=-x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20 \end{align*}\]

 

Im Sachzusammenhang ist der in Teilaufgabe 2c ermittelte Bereich \(4 < x < 8{,}6\) ein sinnvoller Definitionsbereich der Gewinnfunktion \(G\).

 

\(G(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20; \; D_{G} = ]4;8{,}6[\)

 

Erste Ableitung \(G'\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt.

 

\[G(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*}G'(x) &= -3x^{2} + 12 \cdot 2x - 27 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 24x - 27 \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(G'\) ermitteln:

 

\[\begin{align*}G'(x) &= 0 \\[0.8em] -3x^{2} + 24x - 27 &= 0 \end{align*}\]

 

Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) folgt:

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (-3) \cdot (-27)}}{2 \cdot (-3)} \\[0.8em] &= 4 \pm \sqrt{7} \end{align*}\]

 

\[x_{1} = 4 + \sqrt{7} \approx 6{,}6 \; \wedge \; (x_{2} = 4 - \sqrt{7} \approx 1{,}4)\]

 

Mit \(x \in \; ]4;8{,}6[\) ist \(x = 6{,}6\) eine im Sachzusammenhang sinnvolle Lösung der quadratischen Gleichung.

 

Nachweis, dass \(G\) an der Stelle \(x \approx 6{,}6\) ein relatives Maximum hat:

Da \(G''(x)\) einfach zu bilden ist, wird das Vorzeichen von \(G''(6{,}6)\) betrachtet.

 

Zweite Ableitung \(G''\) bilden:

 

\[G'(x) = -3x^{2} + 24x - 27\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

\[G''(x) = -6x + 24\]

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Anwendung der Differentialrechnung:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

\[G''(6{,}6) = -6 \cdot 6{,}6 + 24 = -15{,}6 \quad \Longrightarrow \quad G''(6{,}6) < 0\]

 

Also ist \(G(6{,}6)\) ein relatives Maximum der Gewinnfunktion \(G\).

 

Betrachtung möglicher Randmaxima:

Mit dem Definitionsbereich \(D_{G} = \;]4;8{,}6[\) ist die Gewinnfunktion \(G\) für \(x = 4\) und \(x = 8{,}6\) nicht definiert. Also kann es keine Randmaxima geben. Diese Erkenntnis vermittelt auch die Zeichnung zu Teilaufgabe 2c.

 

Schlussfolgerung:

Um den größten Gewinn zu erzielen, muss das Unternehmen ca. 6,6 Kubikmeter der Flüssigkeit verkaufen.

 

größter Gewinn G(x) = E(x) - K(x) für x ≈ 6,6

Veranschaulichung: Größter Gewinn \(G(6{,}6)\)