Teilaufgabe 2d

Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2d

 

Die notwendige Bedingung für maximalen Gewinn lautet:

 

\[G'(x) = 0\]

 

Gewinnfunktion \(G\) beschreiben:

 

\[\begin{align*}G(x) &= E(x) - K(x) \\[0.8em] &= 23x - (x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20) \\[0.8em] &=-x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20 \end{align*}\]

 

Im Sachzusammenhang ist der in Teilaufgabe 2c ermittelte Bereich \(4 < x < 8{,}6\) ein sinnvoller Definitionsbereich der Gewinnfunktion \(G\).

 

\(G(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20; \; D_{G} = ]4;8{,}6[\)

 

Erste Ableitung \(G'\) bilden:

Hierfür wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt.

 

\[G(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20\]

\[\begin{align*}G'(x) &= -3x^{2} + 12 \cdot 2x - 27 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 24x - 27 \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(G'\) ermitteln:

 

\[\begin{align*}G'(x) &= 0 \\[0.8em] -3x^{2} + 24x - 27 &= 0 \end{align*}\]

 

Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) folgt:

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (-3) \cdot (-27)}}{2 \cdot (-3)} \\[0.8em] &= 4 \pm \sqrt{7} \end{align*}\]

 

\[x_{1} = 4 + \sqrt{7} \approx 6{,}6 \; \wedge \; (x_{2} = 4 - \sqrt{7} \approx 1{,}4)\]

 

Mit \(x \in \; ]4;8{,}6[\) ist \(x = 6{,}6\) eine im Sachzusammenhang sinnvolle Lösung der quadratischen Gleichung.

 

Nachweis, dass \(G\) an der Stelle \(x \approx 6{,}6\) ein relatives Maximum hat:

Da \(G''(x)\) einfach zu bilden ist, wird das Vorzeichen von \(G''(6{,}6)\) betrachtet.

 

Zweite Ableitung \(G''\) bilden:

 

\[G'(x) = -3x^{2} + 24x - 27\]

\[G''(x) = -6x + 24\]

\[G''(6{,}6) = -6 \cdot 6{,}6 + 24 = -15{,}6 \quad \Longrightarrow \quad G''(6{,}6) < 0\]

 

Also ist \(G(6{,}6)\) ein relatives Maximum der Gewinnfunktion \(G\).

 

Betrachtung möglicher Randmaxima:

Mit dem Definitionsbereich \(D_{G} = \;]4;8{,}6[\) ist die Gewinnfunktion \(G\) für \(x = 4\) und \(x = 8{,}6\) nicht definiert. Also kann es keine Randmaxima geben. Diese Erkenntnis vermittelt auch die Zeichnung zu Teilaufgabe 2c.

 

Schlussfolgerung:

Um den größten Gewinn zu erzielen, muss das Unternehmen ca. 6,6 Kubikmeter der Flüssigkeit verkaufen.

 

größter Gewinn G(x) = E(x) - K(x) für x ≈ 6,6

Veranschaulichung: Größter Gewinn \(G(6{,}6)\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c