Teilaufgabe a

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\), \(K_{2}(0|0|0)\), \(K_{3}(3|0|0)\) und \(K_{4}(3|4|0)\) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten \(S_{1}(0|6|2{,}5)\), \(S_{2}(0|0|3)\) und \(S_{3}(6|0|2{,}5)\) dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abbildung 1 Geometrie 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 BAbb. 1

Die Punkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) legen die Ebene \(E\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(E \colon x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Normalenvektor der Ebene E

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{S_{2}S_{1}} \times \overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{S_{2}S_{1}}\) und \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) oder \(S_{3}\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{S_{2}S_{1}}\) und \(\overrightarrow{S_{2}S_{3}}\) berechnen:

\(S_{1}(0|6|2{,}5)\), \(S_{2}(0|0|3)\), \(S_{3}(6|0|2{,}5)\)

 

\[\overrightarrow{S_{2}S_{1}} = \overrightarrow{S_{1}} - \overrightarrow{S_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{S_{2}S_{3}} = \overrightarrow{S_{3}} - \overrightarrow{S_{2}} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{S_{2}S_{1}} \times \overrightarrow{S_{2}S_{3}} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 & \cdot & (-0{,}5) & - & (-0{,}5) & \cdot & 0 \\ (-0{,}5) & \cdot & 6 & - & 0 & \cdot & (-0{,}5) \\ 0 & \cdot & 0 & - & 6 & \cdot & 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -36 \end{pmatrix} = (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(S_{2}(0|0|3)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}E \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{S_{2}}) = 0 \\[0.8em] E \colon &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{1 \cdot (x_{1} - 0) + 1 \cdot (x_{2} - 0) + 12 \cdot (x_{3} - 3) = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{E \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix}\), \(S_{2}(0|0|3)\)

 

\[\begin{align*} &E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon 1 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 12 \cdot x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} S_{2} \in E \colon 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 12 \cdot 3 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 36 + n_{0} &= 0 &&| - 36 \\[0.8em] n_{0} &= -36 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{1} + x_{2} + 12x_{3} - 36 = 0\]

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