Teilaufgabe b

Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Normalenvektor der Ebene L
 

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AE}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(L\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(A\), \(B\), \(E\) oder \(F\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(L\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(L\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AE}\) berechnen:

\(A(3|0|2)\), \(B(0|3|2)\), \(E(6|0|0)\), \(F(0|6|0)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(L\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE} &= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 & \cdot & (-2) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 3 & - & (-3) & \cdot & (-2) \\ (-3) & \cdot & 0 & - & 3 & \cdot & 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix} = (-3) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(L\).

  

Gleichung der Ebene \(L\) in Normalenform formulieren: 

Der Punkt \(A(3|0|2)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*} L \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \\[0.8em] L \colon &\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{2 \cdot (x_{1} - 3) + 2 \cdot (x_{2} - 0) + 3 \cdot (x_{3} - 2) = 0} \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{2x_{1} - 6 + 2x_{2} + 3x_{3} - 6 = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{L \colon} \, &\textcolor{#0087c1}{2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(A(3|0|2)\)

 

\[\begin{align*} &L \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}A \in L \colon 2 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 12 + n_{0} &= 0 &&| - 12 \\[0.8em] n_{0} &= -12 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\]

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