Teilaufgabe 2e

Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(2 \leq x \leq 6\) sowie die dazu symmetrische Fläche im II-Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion \(F\), wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2e

 

\[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = ]1;+\infty[\]

\(F(x) = 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}; \; D_{F} = \; ]1;+\infty[\) (vgl. Teilaufgabe 1d)

 

Flächenstücke, welche im Modell die Werbefläche beschreiben

Die insgesamt zur Verfügung stehende Werbefläche \(A\) errechnet sich aufgrund der beiden zur \(y\)-Achse symmetrischen Flächenstücke wie folgt:

\[\begin{align*} A &= 2 \cdot \int_{2}^{6} f(x) dx \\[0.8em] &= 2 \cdot [F(x)]_{2}^{6} \\[0.8em] &= 2 \cdot [3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}]_{2}^{6} \\[0.8em] &= 2 \cdot \left[ 3 \cdot 6 - (6 - 1) \cdot \ln{(6 - 1)} - \left( 3 \cdot 2 - (2 - 1) \cdot \ln{(2 - 1)} \right) \right] \\[0.8em] &= 2 \cdot \big[ 18 - 5\ln{5} - 6 + \underbrace{\ln{1}}_{0} \big] \\[0.8em] &= 2 \cdot (12 - 5\ln{5}) \\[0.8em] &= 24 - 10\ln{5} \\[0.8em] &\approx 7{,}91 \end{align*}\]

 

Als Werbefläche stehen insgesamt etwa 8 Quadratmeter zur Verfügung.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2d Teilaufgabe 3a »