Teilaufgabe k

Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) sein und stets mindestens 25 % unter der gesundheitsschädlichen Grenze von 2\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) liegen. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x)\) und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe k

 

\[k(x) = \frac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5; \; D_{k} = \mathbb R\]

 

Grenzwert \(\lim \limits_{x\,˝o\,+\infty} k(x)\) ermitteln

 

\[\begin{align*} \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\overbrace{3 \cdot e^{2x}}^{\to\,+\infty}}{\underbrace{e^{2x} + 1}_{\to\,+\infty}} - 1{,}5 &&| \; e^{2x} \; \text{ausklammern und kürzen} \; (e^{2x} \neq 0) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{3 \cdot \cancel{e^{2x}}}{\cancel{e^{2x}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{e^{2x}} \right)} - 1{,}5 \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{3}{1 + \underbrace{\frac{1}{e^{2x}}}_{\to\,0}} -1{,}5 \\[0.8em] &= 3 - 1{,}5 \\[0.8em] &= 1{,}5 \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Durch Ausklammern und kürzen von \(e^{2x}\) ergibt sich ein für die Grenzwertbetrachtung aussagekräftiger Term (anstelle des unbestimmten Ausdrucks \(\frac{+\infty}{+\infty}\)).

 

Beurteilung, ob die Bedingungen erfüllt sind

Erste Bedingung:

„... spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) ..."

 

\[k(1) > 0{,}75\]

 

\[k(1) = \frac{3 \cdot e^{2 \cdot 1}}{e^{2 \cdot 1} + 1} -1{,}5 \approx 1{,}14 > 0{,}75\]

 

Zweite Bedingung:

„... stets mindestens 25 % unter der gesundheitsschädlichen Grenze von 2\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) ..."

 

\[2 - 0{,}25 \cdot 2 = 1{,}5\]

 

\(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x) = 1{,}5\) (vgl. oben)

 

Da \(k\) streng monoton zunimmt (vgl. Teilaufgabe j) und zudem \(k(1) \approx 1{,}14\) sowie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x) = 1{,}5\) gilt, ist die Wirkstoffkonzentration vor Ablauf der 60 Minuten dauerhaft größer als \(0{,}75\, \frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) und liegt stets unter der gesundheitsschädlichen Grenze von \(1{,}5\,\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\).

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