Teilaufgabe b

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Linear unabhängige Verbindungsvektoren der Punkte I und J sowie der Punkte I und L

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{IJ}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{IL}}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(T\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(I\), \(J\), \(K\) oder \(L\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{IJ}\) und \(\overrightarrow{IL}\) sind aus Teilaufgabe a bereits bekannt:

 

\(\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{IL} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(T\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL} &= \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 5 & \cdot & 4 & - & (-1) & \cdot & 0 \\ (-1) & \cdot & (-4) & - & (-3) & \cdot & 4 \\ (-3) & \cdot & 0 & - & 5 & \cdot & (-4) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 20 \\ 16 \\ 20 \end{pmatrix} = 4 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(T\).

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(I(5|0|1)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}T \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{I}) = 0 \\[0.8em] T \colon &\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{5 \cdot (x_{1} - 5) + 4 \cdot (x_{2} - 0) + 5 \cdot (x_{3} - 1) = 0} \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{5x_{1} - 25 + 4x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{T \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(I(5|0|1)\)

 

\[\begin{align*} &T \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &T \colon 5 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} I \in E \colon 5 \cdot 5 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 30 + n_{0} &= 0 &&| - 30 \\[0.8em] n_{0} &= -30 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe a Teilaufgabe c »