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Teilaufgabe 2a

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 7\) als schräge Asymptote.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2020

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von \(G_{h}\) ein und skizzieren Sie im Bereich \(x < 2\) einen möglichen Verlauf von \(G_{h}\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Einzeichnen der Asymptoten von \(G_{h}\)

Senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = 2 und schräge Asymptote mit der Gleichung y = x - 7 der gebrochenrationalen Funktion h

Senkrechte und schräge Asymptote von \(G_{h}\)

 

Begründung (nicht verlangt)

An der Polstelle \(x = 2\) besitzt der Graph der gebrochenrationalen Funktion \(h\) eine senkrechte Asymptote.

Die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 7\) bestimmt das Verhalten von \(G_{h}\) im Unendlichen. Abbildung 1 zeigt den asymptotischen Verlauf von \(G_{h}\) für \(x \to +\infty\).

 

Skizzieren eines möglichen Verlaufs von \(G_{h}\) für \(x < 2\) 

Möglicher Verlauf des Graphen der gebrochenrationalen Funktion im Bereich x < 2

Möglicher Verlauf von \(G_{h}\) im Bereich /(x < 2\)

 

Begründung (nicht verlangt)

Da \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist (vgl. Angabe), muss \(G_{h}\) für \(x \to 2^{-}\) (Annäherung „von links") ebenso wie für \(x \to 2^{+}\) (Annäherung „von rechts") gegen \(+\infty\) verlaufen.

 

\[\lim \limits_{x \,\to\,2^{-}} h(x) = +\infty; \quad \lim \limits_{x \,\to\,2^{+}} h(x) = +\infty\]

 

Da die schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 7\) das Verhalten von \(G_{h}\) im Unendlichen bestimmt, nähert sich \(G_{h}\) für \(x \to -\infty\) ebenfalls dieser schrägen Asymptote an.

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