Teilaufgabe d

Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet - mit Ausnahme des Schattenbereichs in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle.

Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform.

(zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Koordinaten des Punktes \(L\)

Der Mittelpunkt \(M_{[A_{1}A_{2}]}\) der Strecke \([A_{1}A_{2}]\) hat mit \(A_{1}(0|0|0)\) und \(A_{2}(\textcolor{#e9b509}{20}|0|0)\) hat die Koordinaten \(M_{[A_{1}A_{2}]}(\textcolor{#e9b509}{10}|0|0)\). Da die Lichtquelle 12 m vertikal (senkrecht) über \(M_{[A_{1}A_{2}]}\) liegt, folgt: \(L(\textcolor{#e9b509}{10}|0|\textcolor{#89ba17}{12})\).

 

Oder ausführlich dokumentiert:

\(A_{1}(0|0|0)\), \(A_{2}(20|0|0)\)

\[\begin{align*}\overrightarrow{M}_{[A_{1}A_{2}]} &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{A_{1}} + \overrightarrow{A_{2}}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad M_{[A_{1}A_{2}]}(10|0|0)\]

 

Da die Lichtquelle 12 m vertikal (senkrecht) über \(M_{[A_{1}A_{2}]}\) liegt, folgt: \(L(10|0|\textcolor{#89ba17}{12})\).

 

Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform

Ebene F, welche die Punkte L, B₂ und B₃ festlegen

Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{LB_{2}} \times \overrightarrow{LB_{3}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{LB_{2}}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{LB_{3}}}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(F\). Als Aufpunkt wählt man einen der Punkte \(L\), \(B_{2}\) oder \(B_{3}\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform angeben.

Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt zur Kontrolle eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{LB_{2}}\) und \(\overrightarrow{LB_{3}}\) bestimmen:

\(L(10|0|12)\), \(B_{2}(20|0|6)\), \(B_{3}(20|10|4)\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[\overrightarrow{LB_{2}} = \overrightarrow{B_{2}} - \overrightarrow{L} = \begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{LB_{3}} = \overrightarrow{B_{3}} - \overrightarrow{L} = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(F\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{LB_{2}} \times \overrightarrow{LB_{3}} &= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-8) & - & (-6) & \cdot & 10 \\ (-6) & \cdot & 10 & - & 10 & \cdot & (-8) \\ 10 & \cdot & 10 & - & 0 & \cdot & 10 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 60 \\ 20 \\ 100 \end{pmatrix} = 20 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Der Vektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor der Ebene \(F\).

 

Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform beschreiben:

Der Punkt \(L(10|0|12)\) dient beispielsweise als Aufpunkt.

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

\[\begin{align*}F \colon &\overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{L}) = 0 \\[0.8em] F \colon &\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \right] = 0 \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{3 \cdot (x_{1} - 10) + 1 \cdot (x_{2} - 0) + 5 \cdot (x_{3} - 12) = 0} \\[0.8em] &\textcolor{#0087c1}{3x_{1} - 30 + x_{2} + 5x_{3} - 60 = 0} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{F \colon \,} &\textcolor{#0087c1}{3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0} \end{align*}\]

 

Anmerkung:

Da die Aufgabe keine bestimmte Darstellung der Normalenform verlangt, ist das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts, d.h. die Umwandlung in die Koordinatendarstellung, nicht unbedingt notwendig.

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

\(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} \textcolor{#e9b509}{3} \\ \textcolor{#e9b509}{1} \\ \textcolor{#e9b509}{5} \end{pmatrix}\), \(L(\textcolor{#89ba17}{10}|\textcolor{#89ba17}{0}|\textcolor{#89ba17}{12})\)

 

\[\begin{align*} &F \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &F \colon \textcolor{#e9b509}{3} \cdot x_{1} + \textcolor{#e9b509}{1} \cdot x_{2} + \textcolor{#e9b509}{5} \cdot x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} L \in E \colon 3 \cdot \textcolor{#89ba17}{10} + \textcolor{#89ba17}{0} + 5 \cdot \textcolor{#89ba17}{12} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 30 + 60 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 90 + n_{0}  &= 0 &&| - 90 \\[0.8em] n_{0} &= -90 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\]

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