Teilaufgabe b

Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von \(g\) und \(E\) und zeigen Sie, dass \(S(0{,}5|6{,}5|0)\) der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) ist.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Berechnung der Größe des Schnittwinkel von \(g\) und \(E\)

\[E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}}\]

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}}, \; \lambda \in \mathbb R\]

\[\begin{align*} \sin \alpha &= \frac{\vert \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{E}} \vert}{\vert \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{u}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_{E}} \vert} = \frac{\left|\textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}} \circ \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}}\right|}{\left| \textcolor{#e9b509}{\begin {pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end {pmatrix}} \right| \cdot \left| \textcolor{#0087c1}{\begin {pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end {pmatrix}} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 5 \cdot 4 + 11 \cdot (-8) + (-4) \cdot 1\vert}{\sqrt{5^2 + 11^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-8)^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{\vert -72 \vert}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{162}} = \frac{72}{9 \cdot \sqrt{162}} = \frac{8}{\sqrt{162}} & &| \; \text{TR}\colon\, \sin^{-1}(\dots) \\[2.4em] \alpha &= \sin^{-1}\left( \frac{8}{\sqrt{162}} \right) \approx 38{,}9^{\circ} \end{align*}\]

 

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) unter einem Winkel von ca. 38,9°.

 

Nachweis, dass \(S(0{,}5|6{,}5|0)\) der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) ist

1. Möglichkeit: Punktprobe

 

\[\textcolor{#89ba17}{S(0{,}5|6{,}5|0)}\]

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\textcolor{#89ba17}{S} \;\text{in}\; g\colon \; \textcolor{#89ba17}{\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 6{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\]

\[\Rightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} 0{,}5 = \enspace 3 + \enspace 5 \lambda \enspace &\Leftrightarrow \enspace  \lambda = -0{,}5 \\[0.8em] 6{,}5 = 12 + 11\lambda \enspace &\Leftrightarrow \enspace \lambda = -0{,}5 \\[0.8em] \enspace 0 = -2 - \enspace 4\lambda \enspace &\Leftrightarrow \enspace \lambda = -0{,}5\end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#89ba17}{S} \in g\]

  

\[\textcolor{#89ba17}{S(0{,}5|6{,}5|0)}\]

\[E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#89ba17}{S}\; \text{in}\; E \colon \; 4 \cdot \textcolor{#89ba17}{0{,}5} - 8 \cdot \textcolor{#89ba17}{6{,}5} + \textcolor{#89ba17}{0} + 50 &= 0 \\[0.8em] 2 - 52 +50 &= 0 \\[0.8em] -50 + 50 &= 0 \quad \text{(w)} \end{align*}\]

\[\Rightarrow \enspace \textcolor{#89ba17}{S} \in E\]

 

\[\Rightarrow \enspace \textcolor{#89ba17}{S} \in g, E\]

 

Also ist \(\textcolor{#89ba17}{S(0{,}5|6{,}5|0)}\) der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\).

 

2. Möglichkeit: Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen

 

\[\begin{align*}g \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R \\[0.8em] g \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{3 + 5\lambda} \\ \textcolor{#e9b509}{12 + 11\lambda} \\ \textcolor{#cc071e}{-2 - 4\lambda} \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R \end{align*}\]

\[E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\]

 

Für die Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts von \(g\) und \(E\) werden die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Geraden \(g\) in die Gleichung der Ebene \(E\) eingesetzt und diese nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} g \cap E \colon \; 4 \cdot \textcolor{#0087c1}{(3 + 5\lambda)} - 8 \cdot \textcolor{#e9b509}{(12 + 11\lambda)} + \textcolor{#cc071e}{(-2 - 4\lambda)} + 50 &= 0 \\[0.8em] 12 + 20 \lambda - 96 - 88 \lambda - 2 - 4 \lambda + 50 &= 0 \\[0.8em] -72\lambda - 36 &= 0 &&| + 36 \\[0.8em] -72 &= 36 &&| : (-72) \\[0.8em] \lambda &= -0{,}5 \end{align*}\]

 

Eingesetzt in die Geradengleichung von \(g\) liefert der Parameterwert \(\textcolor{#89ba17}{\lambda = -0{,}5}\) den Ortsvektor \(\overrightarrow{S}\) des Schnittpunkts \(S\) von \(g\) und \(E\).

 

\[S \in g \colon \;\overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \textcolor{#89ba17}{(-0{,}5)} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 6{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\Rightarrow \enspace S(0{,}5|6{,}5|0)\]

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