Teilaufgabe 1

In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. 46 % aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.

Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

\(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss."

\(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts,"

Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss."

\(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts,"

 

Erstellen einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel

Gegeben:

\[\vert \Omega \vert = \textcolor{#89ba17}{6250}\]

\[\vert A \vert = \textcolor{#89ba17}{2250}\]

\[\vert A \cap B \vert = \frac{2}{3} \cdot \vert A \vert = \frac{2}{3} \cdot 2250 = \textcolor{#89ba17}{1500}\]

\[\vert \overline{A} \cap \overline{B} \vert = 0{,}46 \cdot \vert \Omega \vert = 0{,}46 \cdot 6250 = \textcolor{#89ba17}{2875}\]

 

Damit ergibt sich folgende Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten:

 

 \(A\)\(\overline{A}\) 
\(B\)\(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{1500}}\)\(1125\)\(2625\)
\(\overline{B}\)\(750\)\(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{2875}}\)\(3625\)
 \(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{2250}}\)\(4000\)\(\textcolor{#89ba17}{\mathbf{6250}}\)

 

Beispielsweise lässt sich die Vierfeldertafel durch zeilen- bzw. spaltenweise Subtraktion oder Addition wie folgt ausfüllen:

 

\[\vert \overline{A} \vert = \vert \Omega \vert - \vert A \vert = 6250 - 2250 = 4000\]

\[\vert A \cap \overline{B} \vert = \vert A \vert - \vert A \cap B \vert = 2250 - 1500 = 750\]

\[\vert \overline{A} \cap B \vert = \vert \overline{A} \vert - \vert \overline{A} \cap \overline{B} \vert = 4000 - 2875 = 1125\]

\[\vert B \vert = \vert A \cap B \vert + \vert \overline{A} \cap B \vert = 1500 + 1125 = 2625\]

\[\vert \overline{B} \vert = \vert \Omega \vert - \vert B \vert = 6250 - 2625 = 3625\]

 

Überprüfung, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastich unabhängig sind

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, wenn beispielsweise \(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt.

Der beschriebene Sachverhalt kann als Laplace-Experiment betrachtet werden, bei dem jedes Ergebnis, einen der 6250 Haushalte zufällig auszuwählen, gleichwahrscheinlich ist.

\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{2250}{6250} = 0{,}36\]

\[P(B) = \frac{\vert B \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{2625}{6250} = 0{,}42\]

\[P(A \cap B) = \frac{\vert A \cap B \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{1500}{6250} = 0{,}24\]

 

\[P(A) \cdot P(B) = 0{,}36 \cdot 0{,}42 = 0{,}1512 \neq 0{,}24\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch abhängig.

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