Teilaufgabe 2c

Ermitteln Sie, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde. Gehen Sie davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

\[\begin{align*} P_{0{,}002}^{n}(X \geq 1) &> 0{,}99 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}002}^{n}(X = 0) &> 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}002}^{n}(X = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht!}} \\[0.8em] P_{0{,}002}^{n}(X = 0) &\textcolor{#cc071e}{<} 0{,}01 & &| \; P_{0{,}002}^{n}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{0{,}002}^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}002)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] {0{,}998}^{n} &< 0{,}01 & &| \;\text{Logarithmieren, z.B.}\; \ln \\[0.8em] \ln\left( {0{,}998}^{n} \right) &< \ln 0{,}01 & &| \; \log_{a}\left(b^{n}\right) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}998 &< \ln 0{,}01 & &| : \ln 0{,}998 \textcolor{#cc071e}{< 0} \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht!}} \\[0.8em] n &\textcolor{#cc071e}{>} \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}998} \\[0.8em] n &\gtrapprox 2300{,}3 &&| \; n \in \mathbb N \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad n = 2301\]

 

Es müssen mindestens 2301 Haushalte angeschrieben werden.

 

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Betrachtet wird das Ereignis: „Ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, lässt einen solchen einrichten."

Aus der Angabe zu Teilaufgabe 2 ist bekannt, dass ein angeschriebener Haushalt mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % noch nicht über einen schnellen Internet Anschluss verfügt. Außerdem soll davon ausgegangen werden, dass jeder hundertste Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, sich dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein (beliebiger) angeschriebener Haushalt einen schnellen Internetanschluss einrichten lässt zu \(p = 0{,}01 \cdot 0{,}2 = 0{,}002\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis).

Da nur zwischen dem betrachteten Ereignis und dessen Gegenereignis unterschieden wird, liegt ein Bernoulli-Experiment vor. Das Anschreiben von \(n\) Haushalten beschreibt eine Bernoullikette der Länge \(n\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das betrachtete Ereignis.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der angeschriebenen Haushalte beschreibt, die einen schnellen Internetanschluss einrichten lassen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(n;0{,}002)\) binomialverteilt.

 

Ansatz formulieren:

 

„... wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste ..."

\(\Longrightarrow \quad\)Gesucht ist die Länge \(n\) der Bernoullikette.

 

„Gehen Sie davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen."

\(\Longrightarrow \quad\)Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}01 \cdot 0{,}2 = 0{,}002\) (vgl. oben)

 

„... wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde."

\(\Longrightarrow \quad X \geq 1\)

 

„... damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % ..."

\(\Longrightarrow \quad P_{0{,}002}^{n}(X \geq 1) > 0{,}99\)

 

Anzahl \(n\) der mindestens anzuschreibenden Haushalte berechnen:

Hierfür wird das Ereignis „Wenigstens einer der angeschriebenen Haushalt entscheidet sich für einen schnellen Internetanschluss" durch die Verneinung des Gegenereignisses formuliert: „Nicht keiner der angeschriebenen Haushalte entscheidet sich für einen schnellen Internetanschluss."

\[\begin{align*} P_{0{,}002}^{n}(X \geq 1) &> 0{,}99 & &|\;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}002}^{n}(X = 0) &> 0{,}99 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}002}^{n}(X = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht!}} \\[0.8em] P_{0{,}002}^{n}(X = 0) &\textcolor{#cc071e}{<} 0{,}01 & &| \; P_{0{,}002}^{n}(X = 0)\;\text{ausformulieren} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{{0{,}002}^{0}}_{1} \cdot (1 - 0{,}002)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] {0{,}998}^{n} &< 0{,}01 & &| \;\text{Logarithmieren, z.B.}\; \ln \\[0.8em] \ln\left( {0{,}998}^{n} \right) &< \ln 0{,}01 & &| \; \log_{a}\left(b^{n}\right) = n \cdot \log_{a}b \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}998 &< \ln 0{,}01 & &| : \ln 0{,}998 \textcolor{#cc071e}{< 0} \enspace \textcolor{#cc071e}{\text{Relationszeichen dreht!}} \\[0.8em] n &\textcolor{#cc071e}{>} \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}998} \\[0.8em] n &\gtrapprox 2300{,}3 &&| \; n \in \mathbb N \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad n = 2301\]

 

Es müssen mindestens 2301 Haushalte angeschrieben werden.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b Teilaufgabe 3a »