Teilaufgabe 3b

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[h(x) = ax^{2} + c; \; D_{h} = \mathbb R\]

Tangente \(y = -x + 1\) an \(G_{h}\) im Punkt \(N(1|0)\)

 

Der Graph der Funktion \(h\) verläuft durch den Punkt \(N(\textcolor{#e9b509}{1}|\textcolor{#e9b509}{0})\). Somit gilt:

 

\[\begin{align*} h(\textcolor{#e9b509}{1}) &= \textcolor{#e9b509}{0} \\[0.8em] a \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^{2} + c &= \textcolor{#e9b509}{0} \\[0.8em] a + c &= 0 &&\text{(I)} \end{align*}\]

 

Der Gleichung der Tangente \(y = \textcolor{#cc071e}{-}x + 1\) ist die Tangentensteigung \(\textcolor{#cc071e}{m} = \textcolor{#cc071e}{-1}\) zu entnehmen. Deshalb gilt:

\[\textcolor{#cc071e}{m} = h'(\textcolor{#e9b509}{1}) = \textcolor{#cc071e}{-1}\]

Die erste Ableitung von \(h(x) = ax^{2} + c\) ist \(h'(x) = a \cdot 2x\) und damit folgt:

 

\[\begin{align*}h'(\textcolor{#e9b509}{1}) &= \textcolor{#cc071e}{-1} &&| \; h'(x) = a \cdot 2x \\[0.8em] a \cdot 2 \cdot \textcolor{#e9b509}{1} &= \textcolor{#cc071e}{-1} \\[0.8em] 2a &= -1 &&| : 2 \\[0.8em] a &= -\frac{1}{2} \end{align*}\]

 

\[a = -\frac{1}{2}\;\text{in I}\colon \; -\frac{1}{2} + c = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace c = \frac{1}{2}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3a Teilaufgabe 4a »

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