Teilaufgabe 1d

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von \(G_{f}\) und der Strecke \([AB]\) eingeschlossen wird.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

\[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\]

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, welches der Graph von f und die Strecke [AB] einschließen

Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) der Fläche, welche \(G_{f}\) und die Strecke \([AB]\) einschließen.

 

1. Möglichkeit: Flächeninhalt eines Trapezes berücksichtigen

Flächeninhalt des Flächenstücks, welches der Graph der Funktion f im Intervall [3;8] mit der x-Achse einschließt und Trapez, das die Strecke [AB] mit der x-Achse bildet

 

\[\textcolor{#0087c1}{A} = \textcolor{#cc071e}{A_{\text{Trapez}}} - \int_{3}^{8}f(x)dx\]

 

Flächeninhalt des Trapezes berechnen:

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{A_{\text{Trapez}}} &= \frac{\textcolor{#cc071e}{y_{A}} + \textcolor{#cc071e}{y_{B}}}{2} \cdot (\textcolor{#cc071e}{x_{B}} - \textcolor{#cc071e}{x_{A}}) \\[0.8em] &= \frac{\textcolor{#cc071e}{3{,}6} + \textcolor{#cc071e}{0{,}8}}{2} \cdot (\textcolor{#cc071e}{8} - \textcolor{#cc071e}{3}) \\[0.8em] &= 2{,}2 \cdot 5 \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{11} \end{align*}\]

 

Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{3}^{8}f(x)dx\) berechnen:

\[\begin{align*} \int_{3}^{8}f(x)dx &= \int_{3}^{8} \frac{6x}{x^{2} - 4}dx \\[0.8em] &= \int_{3}^{8} \frac{3 \cdot \textcolor{#e9b509}{2x}}{\textcolor{#e9b509}{x^{2} - 4}}dx \\[0.8em] &= 3 \cdot \int_{3}^{8}\frac{\textcolor{#e9b509}{2x}}{\textcolor{#e9b509}{x^{2} - 4}} dx &&| \; \int \frac{\textcolor{#e9b509}{f'(x)}}{\textcolor{#e9b509}{f(x)}} = \textcolor{#e9b509}{\ln\vert f(x) \vert + C} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= 3 \cdot \big[\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\ln{\vert x^{2} - 4 \vert}}_{\text{Stammfunktion}}}\big]_{\textcolor{#89ba17}{3}}^{\textcolor{#89ba17}{8}} \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( \ln{\vert \textcolor{#89ba17}{8}^{2} - 4 \vert} - \ln{\vert \textcolor{#89ba17}{3}^{2} - 4\vert} \right) \\[0.8em] &= 3 \cdot \left( \ln{\textcolor{#e9b509}{60}} - \ln{\textcolor{#e9b509}{5}} \right) &&| \; \log_{a}{\frac{\textcolor{#e9b509}{b}}{\textcolor{#e9b509}{c}}} = \log_{a}{\textcolor{#e9b509}{b}} - \log_{a}{\textcolor{#e9b509}{c}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)}\\[0.8em] &= 3 \cdot \ln{\frac{\textcolor{#e9b509}{60}}{\textcolor{#e9b509}{5}}} \\[0.8em] &= 3\ln{12} \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) berechnen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{A} &= \textcolor{#cc071e}{A_{\text{Trapez}}} - \int_{3}^{8}f(x)dx \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{11} - 3\ln{12}\end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Differenzfunktion integrieren

Gerade AB, Flächeninhalt A des Flächenstücks, welches der Graph von f und die Strecke [AB] einschließen

Es sei \(\textcolor{#cc071e}{g}\) die Gerade, welche durch die Punkte \(\textcolor{#cc071e}{A(3|3{,}6)}\) und \(\textcolor{#cc071e}{B(8|0{,}8)}\) verläuft.

Der Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) lässt sich durch Integration der Differenzfunktion \(\textcolor{#cc071e}{g(x)} - f(x)\) berechnen.

 

\[\textcolor{#0087c1}{A} = \int_{3}^{8}[\textcolor{#cc071e}{g(x)} - f(x)]dx\]

 

Funktionsterm \(\textcolor{#cc071e}{g(x)}\) der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) bestimmen:

\[\textcolor{#cc071e}{g(x)} = \boldsymbol{m}x + \boldsymbol{t}\]

 

Zunächst wird die Steigung \(\bf{m}\) mithilfe der Koordinaten der Punkte \(\textcolor{#cc071e}{A(3|3{,}6)}\) und \(\textcolor{#cc071e}{B(8|0{,}8)}\) berechnet.

\[m = \frac{\textcolor{#cc071e}{y_{B}} - \textcolor{#cc071e}{y_{A}}}{\textcolor{#cc071e}{x_{B}} - \textcolor{#cc071e}{x_{A}}} = \frac{\textcolor{#cc071e}{0{,}8} - \textcolor{#cc071e}{3{,}6}}{\textcolor{#cc071e}{8} - \textcolor{#cc071e}{3}} = \frac{-2{,}8}{5} = -0{,}56\]

 

\[\Rightarrow \enspace g(x) = -0{,}56x + t\]

 

Durch Einsetzen der Koordinaten von \(\textcolor{#cc071e}{A(3|3{,}6)}\) oder \(\textcolor{#cc071e}{B(8|0{,}8)}\) kann der y-Achsenabschnitt \(\bf{t}\) ermittelt werden.

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{A(3|3{,}6)} \in \textcolor{#cc071e}{g} \colon \; \textcolor{#cc071e}{3{,}6} &= -0{,}56 \cdot \textcolor{#cc071e}{3} + t \\[0.8em] 3{,}6 &= -1{,}68 + t &&| + 1{,}68 \\[0.8em] 5{,}28 &= t\end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{B(8|0{,}8)} \in \textcolor{#cc071e}{g} \colon \; \textcolor{#cc071e}{0{,}8} &= -0{,}56 \cdot \textcolor{#cc071e}{8} + t \\[0.8em] 3{,}6 &= -4{,}48 + t &&| + 4{,}48 \\[0.8em] 5{,}28 &= t\end{align*}\]

 

\[\Rightarrow \enspace \textcolor{#cc071e}{g(x)} = \textcolor{#cc071e}{-0{,}56x + 5{,}28}\]

 

Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) berechnen:

\[\begin{align*}\textcolor{#0087c1}{A} &= \int_{3}^{8}[\textcolor{#cc071e}{g(x)} - f(x)]dx \\[0.8em] &= \int_{3}^{8}\left( \textcolor{#cc071e}{-0{,}56 + 5{,}28} - \frac{6x}{x^{2} - 4} \right)dx \\[0.8em] &= \int_{3}^{8}\left( \textcolor{#cc071e}{-0{,}56 + 5{,}28} - 3 \cdot \frac{\textcolor{#e9b509}{2x}}{\textcolor{#e9b509}{x^{2} - 4}} \right)dx &&| \; \int \textcolor{#cc071e}{x^{r}} dx = \textcolor{#cc071e}{\frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C} \;(r \neq -1) \\ &&&| \int \frac{\textcolor{#e9b509}{f'(x)}}{\textcolor{#e9b509}{f(x)}}dx = \textcolor{#e9b509}{\ln{\vert f(x) \vert} + C} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= \Big[ \underbrace{\textcolor{#cc071e}{-0{,}28x^{2} + 5{,}28x} + 3 \cdot \textcolor{#e9b509}{\ln{\vert x^{2} - 4 \vert}}}_{\large{\text{Stammfunktion von}\; \textcolor{#cc071e}{g(x)} \,-\, f(x)}} \Big]_{\textcolor{#89ba17}{3}}^{\textcolor{#89ba17}{8}} \\[0.8em] &= -0{,}28 \cdot \textcolor{#89ba17}{8}^{2} + 5{,}28 \cdot \textcolor{#89ba17}{8} - 3 \cdot \ln{\vert \textcolor{#89ba17}{8}^{2} - 4 \vert} \\[0.8em] & \quad \,-(-0{,}28 \cdot \textcolor{#89ba17}{3}^{2} + 5{,}28 \cdot \textcolor{#89ba17}{3} - 3 \cdot \ln{\vert \textcolor{#89ba17}{3}^{2} - 4 \vert}) \\[0.8em] &= 24{,}32 - 3\ln{60} - 13{,}32 + 3\ln{5} \\[0.8em] &= 11 - 3(\ln{\textcolor{#e9b509}{60}} - \ln{\textcolor{#e9b509}{5}}) &&| \; \log_{a}{\frac{\textcolor{#e9b509}{b}}{\textcolor{#e9b509}{c}}} = \log_{a}{\textcolor{#e9b509}{b}} - \log_{a}{\textcolor{#e9b509}{c}}\;\text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= 11 - 3\ln{\frac{\textcolor{#e9b509}{60}}{\textcolor{#e9b509}{5}}} \\[0.8em] &= 11 - 3\ln{12}\end{align*}\]

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