Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\).

Abbildung Aufgabe 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2021

Zeigen Sie, dass \(f\) genau zwei Nullstellen besitzt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot \textcolor{#e9b509}{\underbrace{e^{-x}}_{>\,0}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

Graphen der Funktionen x ↦ eˣ und x ↦ e¯ˣ(Skizze nicht verlangt)

Da der Wert des Exponetialterms \(\textcolor{#e9b509}{e^{-x}}\) für alle \(x \in \mathbb R\) stets größer als null ist, folgt:

 

\[\begin{align*}f(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace 1 - x^{2} &= 0 &&| + x^{2} \\[0.8em] 1 &= x^{2} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm 1 &= x_{1,2} \end{align*}\]

 

Also besitzt die Funktion \(f\) genau die zwei Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x _{2} = 1\).

 

Anmerkung:

Für die Bearbeitung dieser Aufgabe ist die Kenntnis über den Verlauf des Graphen der Grundfunktion \(x \mapsto e^{x}\) sehr hilfreich.

(vgl. ABITUR SKRIPT - Lernhilfen Analysis - Skizzieren des Verlaufs wichtiger Grundfunktionen)

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