Teilaufgabe c

Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\).

(zur Kontrolle: \(V = 72\))

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

1. Möglichkeit: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\) (vgl. Merkhilfe)

Paramide ABCDS mit der quadratischen Grundfläche ABCD, welche in der Ebene E liegt

Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt.

Die Grundfläche \(ABCD\) liegt in der Ebene \(E\), welche im Abstand 4 parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene ist (vgl. Teilaufgabe a). Die Spitze \(S(0|0|\textcolor{#cc071e}{1})\) hat von der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den Abstand 1.

Somit gilt für die Höhe \(h\) der Pyramide \(ABCDS\):

 

\[h = \textcolor{#cc071e}{4} - \textcolor{#cc071e}{1} = 3\]

 

Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) berechnen:

\(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\)

\[\begin{align*}\overline{AB} &= \vert \overrightarrow{AB} \vert = \vert \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-6)^{2} + 6^{2} + 0^{2}} = \sqrt{72}\end{align*}\]

 

\[A_{ABCD} = \overline{AB}^{2} = \sqrt{72}^{2} = 72\]

 

Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechne:

\[V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{\cancel{3}} \cdot 72 \cdot \cancel{3} = 72\]

 

2. Möglichkeit: Spatprodukt anwenden

Dieser rein vektorielle Lösungsansatz ist rechnerisch aufwendiger.

 

Dreiseitige Pyramide ABCS

Beispielsweise spannen die drei linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}}\), \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}}\) und \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AS}}\) einen Spat auf. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide \(\textcolor{#e9b509}{ABCS}\) (vgl. Merkhilfe) nimmt ein Sechstel des Volumens des Spats ein. Das Volumen der Pyramide \(ABCDS\) ist doppelt so groß wie das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

(vgl. ABITUR SKRIPT - 2.1.5 Spatprodukt)

Verbindungsvektoren \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}}\), \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}}\) und \(\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AS}}\) bestimmen (sofern nicht bereits bekannt):

\(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(C(-6|0|4)\), \(S(0|0|1)\)

 

\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}}\]

\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}\]

\[\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AS}} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}}\]

 

Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= 2 \cdot V_{ABCS} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \vert (\textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AC}}) \circ \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{AS}} \vert\\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left[\textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}} \times \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \right] \circ \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 6&\cdot&0&-&0&\cdot&0 \\ 0&\cdot&(-12)&-&(-6)&\cdot&0 \\ (-6)&\cdot&0&-&6&\cdot&(-12) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 72 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \vert 0 \cdot (-6) + 0 \cdot 0 + 72 \cdot 3 \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{\cancel{3}} \cdot 72 \cdot \cancel{3} \\[0.8em] &= 72\end{align*}\]

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