Teilaufgabe 3

Vor einer Schule stehen zehn Fahrräder nebeneinander; zwei davon sind Mountainbikes. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Mountainbikes unmittelbar nebeneinander stehen, wenn die Anordnung der Fahrräder zufällig erfolgte.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 3

 

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Anzahl der Möglichkeiten, zwei Mountainbikes von insgesamt zehn nebeneinander stehenden Fahrrädern abzustellen:

Es gibt \(\displaystyle \binom{10}{2}\) Möglichkeiten, zwei Mountainbikes von insgesamt zehn nebeneinander stehenden Fahrrädern abzustellen.

 

Anzahl der Möglichkeiten, zwei Mountainbikes von insgesamt zehn nebeneinander stehenden Fahrrädern nebeneinander abzustellen:

Anzahl der Möglichkeiten, dass die beiden Mountainbikes unter den zehn Fahrrädern nebeneinander stehen.

Es gibt neun Möglichkeiten, zwei Mountainbikes von insgesamt zehn nebeneinander stehenden Fahrrädern nebeneinander abzustellen.

 

Anmerkung: Für \(n \geq k\) gibt es \(n - k +1\) Möglichkeiten, eine Teilmenge von \(k\) Objekten nebeneinander und ohne Berücksichtigung deren Reihenfolge (ohne Unterscheidung) auf \(n\) Objekte zu verteilen.

 

Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen:

\[\begin{align*}P(\text{„MTBs nebeneinander"}) &= \frac{9}{\binom{10}{2}} \\[0.8em] &= \frac{9}{\frac{10!}{2! \cdot (10 - 2)!}} \\[0.8em] &= \frac{9}{\frac{\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \; \cdot \; \cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}}} \\[0.8em] &= \frac{9}{\frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2}} \\[0.8em] &= \frac{9}{45} = \frac{1}{5} = 20\,\% \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2b