Teilaufgabe 2c

Der Funktionsterm von \(q\) entsteht aus dem Term der in \(\mathbb R\) definierten Kosinusfunktion \(x \mapsto \cos x\) durch Multiplikation mit \(p(x)\). Beschreiben Sie, wie sich der Graph von \(q\) aufgrund dieser Multiplikation vom Graphen der Kosinusfunktion unterscheidet. Gehen Sie dabei auch auf die Nullstellen von \(q\) und die Funktionswerte \(q(n\pi)\) mit \(n \in \mathbb Z\) ein.

(3 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

Graph der Funktion p und Graph der Funktion -p, Graph der Funktion q, Graph der Kosinusfunktion

Graph der Funktion \(p\) und Graph der Funktion \(-p\), Graph der Funktion \(q\), Graph der Kosinusfunktion

 

\[p(x) = e^{-\frac{1}{4}x}\,; \quad D = \mathbb R\]

\[q(x) = e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos{x}\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Die Multiplikation mit dem Faktor \(e^{-\frac{1}{4}x}\) verändert die Amplitude der Kosinusfunktion und bewirkt, dass der Graph von \(q\) zwischen den Graphen \(p\) und \(-p\) verläuft (oszilliert).

 

Nullstellen von \(q\)

 

\[q(x) = \underbrace{e^{-\frac{1}{4}x}}_{>~0} \cdot \cos x\]

 

Für alle \(x \in \mathbb R\) gilt: \(\;e^{-\frac{1}{4}x} > 0\). Somit stimmen die Nullstellen der Funktion \(q\) mit den Nullstellen der Kosinusfunktion überein.

 

\[q(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos{x} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi\,; \enspace k \in \mathbb Z\]

 

Funktionswerte \(q(n\pi)\) mit \(n \in \mathbb Z\)

 

Die Funktionswerte \(q(n\pi), \; n \in \mathbb Z\) liegen auf dem Graphen von \(p\) bzw. \(-p\), da die Kosinusfunktion für \(x = n\pi\) die Werte \(1\) bzw. \(-1\) annimmt. 

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