Teilaufgabe 1a
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x\,; \quad D = \mathbb R\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} 3 \cdot \underbrace{\left( 1 - e^{-x} \right)}_{\to \, -\infty} \underbrace{- x}_{\to \,+\infty} = -\infty\]
Für \(x \to -\infty\) strebt der Term \(1 - e^{-x}\) schneller gegen \(-\infty\) als der Term \(-x\) gegen \(+\infty\).
\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 3 \cdot \underbrace{\left( 1 - \frac{1}{e^{x}} \right)}_{\to\,1} - x = -\infty\end{align*}\]
