Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\,\colon x \mapsto 3 \cdot \left(1 - e^{-x}\right) - x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen der Definitionsmenge.

(2 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x\,; \quad D = \mathbb R\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} 3 \cdot \underbrace{\left( 1 - e^{-x} \right)}_{\to \, -\infty} \underbrace{- x}_{\to \,+\infty} = -\infty\]

Für \(x \to -\infty\) strebt der Term \(1 - e^{-x}\) schneller gegen \(-\infty\) als der Term \(-x\) gegen \(+\infty\).

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 3 \cdot \left( 1 - e^{-x} \right) - x \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} 3 \cdot \underbrace{\left( 1 - \frac{1}{e^{x}} \right)}_{\to\,1} - x = -\infty\end{align*}\]

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