Teilaufgabe 1f

Betrachtet wird nun die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle F\,\colon\,x\mapsto \int_{a}^{x}f(t)\,dt\).

Geben Sie an, welche besonderen Eigenschaften der Graph von \(F\) im Punkt \((a|F(a))\) hat; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(4 BE) 

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

\[F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Die Integralfunktion \(F\) hat an der unteren Integrationsbgrenze \(x = a\) eine Nullstelle.

\[F(a) = \int_{a}^{a} f(t)\,dt = 0\]

 

Aus Teilaufgabe 5b ist bekannt:

\[f(a) = 0\]

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F'(a) = f(a) = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Punkt \((a|F(a))\) ist Extrempunkt der Integralfunktion \(F\).

 

Art des Extrempunkts:

Graph der Funktion f, Nullstelle x = a

Ger Graph der Funktion \(f\) wechselt an der Nullstelle \(x = a\) das Vorzeichen von plus nach minus. Demnach verläuft der Graph der Integralfunktion \(F\) für \(x < a\) streng monoton steigend und für \(x > a\) streng monoton fallend. Folglich besitzt der Graph der Integralfunktion \(F\) an der Stelle \(x = a\) einen Hochpunkt.

\[F'(x) = f(x)\]

\[\left. \begin{align*}&F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < a \\ &F'(a) = 0 \\ &F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > a \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\;(a|F(a))\]

 

Fazit: Der Graph der Integralfunktion \(F\) hat im Punkt \((a|F(a))\) einen Hochpunkt und berührt in diesem die \(x\)-Achse.

Verlauf des Graphen der Integralfunktion F in der Umgebung der Stelle x = a

Verlauf des Graphen der Intergralfunktion \(F\) in der Umgebung der Stelle \(x = a\)

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