Teilaufgabe 1a

Nachdem die Verfilmung eines bekannten Romans erfolgreich in den Kinos gezeigt wurde, veröffentlicht eine Tageszeitung das Ergebnis einer repräsentativen Umfrage unter Jugendlichen. Der Umfrage zufolge hatten 88 % der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen, 18 % sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostrats bereits gelesen hatten, gaben 60 % an, die Verfilmung gesehen zu haben.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(R\,\): "Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hatte laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts bereits gelesen."

\(V\,\): "Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person sah laut Umfrage die Verfilmung."

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen hatte, angab, die Verfilmung gesehen zu haben.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Analyse der Angabe:

 

"... hatten 88 % .. den Roman ... noch nicht gelesen, ..."

\(P(\overline{R}) = 0{,}88\)

 

"... 18 % sahen die Verfilmung."

\(P(V) = 0{,}18\)

 

"Von den Befragten, die ... den Roman ... gelesen hatten, gaben 60 % an, die Verfilmung gesehen zu haben."

\(P_R(V) = 0{,}6\)

 

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{R}}(V)\)

\[P_{\overline{R}}(V) = \frac{P(\overline{R} \cap V)}{P(\overline{R})}\]

 

1. Lösungsansatz: Baumdiagramm

 

Baumdiagramm: Gegebene Wahrscheinlichkeiten und gesuchte Wahrscheinlichkeit

Gegebene Wahrscheinlichkeiten \(\,P(\overline{R})\,\), \(\,P(V)\,\) und \(\,P_R(V)\,\) sowie gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit \(\,P_{\overline{R}}(V)\)

Knotenregel anwenden:

 

\[P(R) = 1 - P(\overline{R}) = 1 - 0{,}88 = 0{,}12\]

 

1.Pfadregel anwenden:

 

\[P(R \cap V) = P(R) \cdot P_R(V) = 0{,}12 \cdot 0{,}6 = 0{,}072\]

 

2. Pfadregel anwenden:

 

\[\begin{align*} P(V) &= P(R \cap V) + P(\overline{R} \cap V) \\[0.8em] \Longleftrightarrow \quad P(\overline{R} \cap V) &= P(V) - P(R \cap V) \\[0.8em] &= 0{,}18 - 0{,}072 \\[0.8em] &= 0{,}108 \end{align*}\]

 

Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\overline{R}}(V)\) berechnen:

 

\[P_{\overline{R}}(V) = \frac{P(\overline{R} \cap V)}{P(\overline{R})} = \frac{0{,}108}{0{,}88} \approx 0{,}123 = 12{,}3\,\%\]

 

Baumdiagramm: Errechnete Wahrscheinlichkeiten der Zwischenschritte und Ergebnis der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit

Errechnete Wahrscheinlichkeiten \(\,P(R)\,\), \(\,P(R \cap V)\,\) und \(\,P(\overline{R} \cap V)\,\) der Zwischenschritte und Ergebnis der gesuchten bedingten Wahscheinlichkeit \(\,P_{\overline{R}}(V)\)

 

2. Lösungsansatz: Vierfeldertafel

 

Gegeben: \(\;P(\overline{R}) = 0{,}88\,\), \(\enspace P(V) = 0{,}18\,\), \( \enspace P_R(V) = 0{,}6\)

 

  \(V\) \(\overline V\)  
\(R\)      
\(\overline{R}\)     \(0{,}88\)
  \(0{,}18\)   \(1\)

 

\[P(R) = 1 - P(\overline{R}) = 1 - 0{,}88 = 0{,}12\]

 

  \(V\) \(\overline V\)  
\(R\)     \(\bf{0{,}12}\)
\(\overline{R}\)     \(0{,}88\)
  \(0{,}18\)   \(1\)

\[\begin{align*}P_R(V) &= \frac{P(R \cap V)}{P(R)} \\[0.8em] \Longleftrightarrow \quad P(R \cap V) &= P_R(V) \cdot P(V) \\[0.8em] &= 0{,}6 \cdot 0{,}12 \\[0.8em] &= 0{,}072\end{align*}\]

 

  \(V\) \(\overline V\)  
\(R\) \(\bf{0{,}072}\)   \(\bf{0{,}12}\)
\(\overline{R}\)     \(0{,}88\)
  \(0{,}18\)   \(1\)

 

\[\begin{align*} P(\overline{R} \cap V) &= P(V) - P(R \cap V) \\[0.8em] &= 0{,}18 - 0{,}072 \\[0.8em] &= 0{,}108 \end{align*}\]

 

  \(V\) \(\overline V\)  
\(R\) \(\bf{0{,}072}\)   \(\bf{0{,}12}\)
\(\overline{R}\) \(\bf{0{,}108}\)   \(0{,}88\)
  \(0{,}18\)   \(1\)

\[P_{\overline{R}}(V) = \frac{P(\overline{R} \cap V)}{P(\overline{R})} = \frac{0{,}108}{0{,}88} \approx 0{,}123 = 12{,}3\,\%\]

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