Teilaufgabe 1e

Die Ursprungsgerade \(h\) mit der Gleichung \(y = \frac{2}{e^2} \cdot x\) schließt mit \(G_f\) für \(x \geq 0\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(B\) vollständig ein.

Berechnen Sie die \(x\)-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden \(h\) mit \(G_f\) und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie \(B\).

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\]

\[h\;\colon \, y = \frac{2}{e^2} \cdot x\]

 

Schnittpunkte der Geraden \(h\) mit \(G_f\)

 

Gleichsetzen der Fubktionsterrme:

 

\[\begin{align*} 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} &= \frac{2}{e^2} \cdot x & &| - \frac{2}{e^2} \cdot x \\[0.8em] 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} - \frac{2}{e^2} \cdot x &= 0 \\[0.8em] 2x \left( e^{-0{,}5x^2} - e^{-2} \right) &= 0 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad x_1 = 0 \enspace \vee \enspace e^{-0{,}5x^2} - e^{-2} = 0\]

 

\[\begin{align*} e^{-0{,}5x^2} - e^{-2} &= 0 & &| + e^{-2} \\[0.8em] e^{-0{,}5x^2} &= e^{-2} & &| \; \text{Exponentenvergleich} \\[0.8em] -0{,}5x^2 &= -2 & &| : (-0{,}5) \\[0.8em] x^2 &= 4 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{2,3} &= \pm 2 \end{align*}\]

Graph der Fubktion f und Gerade h

Die Gerade \(h\) schneidet \(G_f\) an den Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = -2\) und \(x_3 = 2\).

 

Flächeninhalt \(B\)

 

1. Lösungsansatz: Differenz zweier Flächeninhalte

Flächeninhalt B des Flächenstücks, das der Graph von f mit der Geraden h für x ≥ 0 einschließt sowie Flächeninhalt des Dreiecks, das die Gerade h mit der x-Achse und der Geraden x = 2 einschließt.

Der Flächeninhalt \(B\) errechnet sich aus der Differenz des Flächeninhalts \(A(2)\) (siehe Teilaufgabe 1d) und dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks, das die Gerade \(h\) im Intervall \(x \in [0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

 

\(A(u) = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) (siehe Teilaufgabe 1d)

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\]

 

\[\begin{align*} B &= A(2) - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot f(2) \\[0.8em] &= 2 - 2e^{-0{,}5 \cdot 2^2} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2^2} \\[0.8em] &= 2 - 2e^{-2} - 4e^{-2} \\[0.8em] &= 2 - \frac{6}{e^2} \\[0.8em] &\approx 1{,}19 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(B\) beträgt 1,19 FE (Flächeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Flächeninhalt B des Flächenstücks, das der Graph von f mit der Geraden h für x ≥ 0 einschließt.

Der Flächeninhalt \(B\) des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der Geraden \(h\) für \(x \geq 0\) einschließt, ist gleich dem Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_0^2 (f(x) - h(x))\,dx\).

 

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\]

\[h(x) = \frac{2}{e^2} \cdot x\]

 

\[B = \int_0^2 \left( 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} - \frac{2}{e^2} \cdot x \right)\,dx\]

Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) und \(H(x)\) von \(h(x)\) bestimmen:

 

\(\displaystyle f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = -2 \cdot (-x) \cdot e^{-0{,}5x^2} \) (siehe Teilaufgabe 1d)

\[F(x) = -2 \cdot e^{-0{,}5x^2} + C\]

 

\[h(x) = \frac{2}{e^2} \cdot x\]

\[H(x) = \frac{2}{e^2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{x^2}{e^2} + C\]

 

Flächeninhalt \(B\) berechnen:

 

\[\begin{align*} B &= \int_0^2 (f(x) - h(x))\,dx \\[0.8em] &= \int_0^2 \left( 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} - \frac{2}{e^2} \cdot x \right)\,dx \\[0.8em] &= \left[ -2 \cdot e^{-0{,}5x^2} - \frac{x^2}{e^2} \right]_0^2 \\[0.8em] &= -2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2^2} - \frac{2^2}{e^2} - \left( -2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0^2} - \frac{0^2}{e^2} \right) \\[0.8em] &= -\frac{2}{e^2} - \frac{4}{e^2} + 2 \\[0.8em] &= -\frac{6}{e^2} + 2 \\[0.8em] &\approx 1{,}19  \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(B\) beträgt 1,19 FE (Flächeneinheiten).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1d Teilaufgabe 2a »