Teilaufgabe 1c

Begründen Sie, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." und „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." abhängig sind.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Ereignisse:

  • \(F\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät."
  • \(M\,\colon\) „Eine aus 200 Jugendlichen ausgewählte Person ist ein Mädchen."

 

Stochastische Abhängigkeit/Unabhängigkeit

Die Ereignisse \(F\) und \(M\) sind abhängig, wenn gilt:

 

\[P(F \cap M) \neq P(F) \cdot P(M)\]

 

Wahrscheinlichkeiten \(P(F \cap M)\), \(P(F)\) und \(P(M)\) berechnen:

Die Tabelle und die Angabe informieren über die Anzahl der Mädchen bzw. der Jungen, die einen Fernseher besitzen und über die Anzahl der Jungen.

\[\vert F \cap M \vert = 54\]

\[\vert F \cap J \vert = 65\]

\[\vert J \vert = 102\]

\[\vert \Omega \vert = 200\]

 

\[P(F \cap M) = \frac{\vert F \cap M \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{54}{200} = 0{,}27\]

\[P(F) = \frac{\vert F \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert F \cap M \vert + \vert F \cap J \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{54 + 65}{200} = 0{,}595\]

\[P(M) = \frac{\vert M \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\vert \Omega \vert - \vert J \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{200 - 102}{200} = 0{,}49\]

 

Stochastische Abhängigkeit nachweisen:

 

\[P(F) \cdot P(M) = 0{,}595 \cdot 0(,)49 = 0{,}29155\]

\[P(F \cap M) = 0{,}27\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(F \cap M) \neq P(F) \cdot P(M)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Ereignisse \(F\) und \(M\) sind abhängig.

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