Teilaufgabe 2b

Betrachtet werden nun die Funktionen \(f_{n}\) mit \(n > 4\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(n\) das Verhalten dieser Funktionen für \(x \to +\infty\) und für \(x \to -\infty\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Funktionenschar, Verhalten im Unendlichen

 

\[f_{n} (x) = x^{4} - 2x^{n}\,; \enspace D = \mathbb R\,, \enspace n > 4\,, \enspace n \in \mathbb N\]

 

Bei einer ganzrationalen Funktion bestimmt der Term mit der höchsten vorkommende Potenz das Verhalten im Unendlichen. Bei der Funktioneneschar \(f_{n}\) mit \(n > 4\) muss somit der Term \(-2x^{n}\) betrachtet werden. Da \(x^{n}\) für \(x \to - \infty\) abhängig vom Exponenten \(n\) das Vorzeichen wechselt, müssen die beiden Fälle „\(n\) ist geradzahlig" und „\(n\) ist ungeradzahlig" bei der Grenzwertbetrachtung \(x \to -\infty\) unterschieden werden. 

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, \pm\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, \pm\infty} -2x^{n}\]

 

Verhalten von \(f_{n}\) mit \(n > 4\) für \(x \to +\infty\):

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} -2\underbrace{x^{n}}_{\to \, +\infty} = -\infty\]

 

Verhalten von \(f_{n}\) mit \(n > 4\) für \(x \to -\infty\):

 

\(n\) ist geradzahlig:

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} -2\underbrace{x^{n}}_{\to \, +\infty} = -\infty\]

 

\(n\) ist ungeradzahlig:

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} -2\underbrace{x^{n}}_{\to \, -\infty} = +\infty\]

 

Ergänzung:

Grenzwertbetrachtung am vollständigen Funktionsterm \(f_{n} (x) = x^{4} - 2x^{n}\)

 

Für die Grenzwertbetrachtung ist es zweckmäßig, den Funktionsterm der Funktionenschar \(f_{n}\) umzuformen.

 

\begin{align*}f_{n}(x) &= x^{4} -2x^{n} \\[0.8em] &= x^{n} \cdot \left(\frac{x^{4}}{x^{n}} - 2 \right) & &| \; \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \\[0.8em] &= x^{n} \cdot \left( x^{4 - n} - 2 \right) \\[0.8em] &= x^{n} \cdot \left( x^{-{(n - 4)}} - 2 \right) & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= x^{n} \cdot \left( \frac{1}{x^{n - 4}} - 2 \right) \end{align*}

 

Verhalten von \(f_{n}\) mit \(n > 4\) für \(x \to -\infty\):

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \underset{\to \, +\infty}{x^{n}} \cdot \bigg( \underbrace{\frac{1}{x^{n - 4}}}_{\to \, 0} - 2 \bigg) = -\infty\]

 

Verhalten von \(f_{n}\) mit \(n > 4\) für \(x \to -\infty\):

 

\(n\) ist geradzahlig:

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} \underset{\to \, +\infty}{x^{n}} \cdot \bigg( \underbrace{\frac{1}{x^{n - 4}}}_{\to \, 0} - 2 \bigg) = -\infty\]

 

\(n\) ist ungeradzahlig:

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f_{n}(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} \underset{\to \, -\infty}{x^{n}} \cdot \bigg( \underbrace{\frac{1}{x^{n - 4}}}_{\to \, 0} - 2 \bigg) = +\infty\]

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