Mathematik Abitur Bayern 2016 B Geometrie 1 - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\) und \(C(3|3|6)\) das gleichseitige Dreieck \(ABC\) fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\))

(4 BE)

Teilaufgabe b

Spiegelt man die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) am Symmetriezentrum \(Z(3|3|3)\), so erhält man die Punkte \(A'\), \(B'\) bzw. \(C'\).

Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf dieser Ebene steht.

(3 BE)

Teilaufgabe c

Begründen Sie, dass das Viereck \(ABA'B'\) ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3\sqrt{2}\) ist.

(4 BE)

Teilaufgabe d

Der Körper \(ABA'B'CC'\) ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat \(ABA'B'\) als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen \(C\) bzw. \(C'\).

Abbildung zu Teilaufgabe d - Geometrie 1 - Prüfungsteil B - Mathematik Abitur Bayern 2016

Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.

(2 BE)

Teilaufgabe f

Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an.

Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

(3 BE)