Teilaufgabe d
Lösung zu Teilaufgabe d
Ebenengleichung in Normalenform, Lotgerade, Schnittpunkt Gerade - Ebene
Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform
Beispielsweise legen die beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{W_{1}W_{2}}\) und \(\overrightarrow{W_{1}K_{2}}\) die Ebene \(E\) fest. Das Vektorprodukt der Verbindungsvektoren liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) oder \(K_{2}\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform angeben. Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.
Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{W_{1}W_{2}}\) und \(W_{1}K_{2}\) bestimmen:
\(W_{1}(0|0|30)\), \(W_{2}(90|0|30)\), \(K_{2}(51|100|10)\)
\[\overrightarrow{W_{1}W_{2}} = \overrightarrow{W_{2}} - \overrightarrow{W_{1}} = \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{W_{1}K_{2}} = \overrightarrow{K_{2}} - \overrightarrow{W_{1}} = \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ -20 \end{pmatrix}\]
Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ermitteln:
\[\begin{align*} \overrightarrow{W_{1}W_{2}} \times \overrightarrow{W_{1}K_{2}} &= \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ -20 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-2) & - & 0 & \cdot & 100 \\ 0 & \cdot & 51 & - & 90 & \cdot & (-20) \\ 90 & \cdot & 100 & - & 0 & \cdot & 51 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 90 \cdot 20 \\ 90 \cdot 100 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 90 \cdot 20 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\]
Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform formulieren:
1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung
Es sei \(W_{1}\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).
\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(W_{1}(0|0|30)\)
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{W_{1}} \right) = 0\]
\[E \colon \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} \right] = 0\]
Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.
\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_{1} - 0) + 1 \cdot (x_{2} - 0) + 5 \cdot (x_{3} - 30) &= 0 \\[0.8em] x_{2} + 5x_{3} - 150 &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]
2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung
Es sei \(W_{1}\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).
\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(W_{1}(0|0|30)\)
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
\[E \colon x_{2} + 5x_{3} + n_{0} = 0\]
\[\begin{align*}W_{1} \in E \colon 0 + 5 \cdot 30 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 150 + n_{0} &= 0 & &| -150 \\[0.8em] n_{0} &= -150 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]
Nachweis, dass der Punkt \(H\) unterhalb der Ebene \(E\) liegt
1. Lösungsansatz: Punktprobe \(P \in E\) eines Punktes \(P\) vertikal zu \(H\)
Ein Punkt \(P\), der vertikal zu Punkt \(H\) und in der Ebene \(E\) liegt, hat die gleiche \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate wie Punkt \(H\). Mithilfe einer Punktprobe \(P \in E\) lässt sich die \(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(P\) ermitteln. Ein Vergleich der \(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(P\) lässt auf die Lage des Punktes \(H\) bezüglich der Ebene \(E\) schließen. Der Punkt \(H\) liegt unterhalb der Ebene \(E\), wenn \(x_{3_{H}} < x_{3_{P}}\) gilt.
\[H(50|70|15) \quad \Longrightarrow \quad P(50|70|p_{3})\]
Koordinate \(p_{3}\) durch Punktprobe \(P \in E\) ermitteln:
\[P(50|70|p_{3})\]
\[E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]
\[\begin{align*}P \in E \colon 70 + 5 \cdot p_{3} - 150 &= 0 \\[0.8em] 5p_{3} - 80 &= 0 & &| + 80 \\[0.8em] 5p_{3} &= 80 & &| : 5 \\[0.8em] p_{3} &= 16 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad P(50|70|16)\]
\(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(P\) vergleichen:
\(H(50|70|15)\), \(P(50|70|16)\)
\[\Longrightarrow \quad X_{3_{H}} < x_{3_{P}}\]
Damit liegt der Punkt \(H\) unterhalb der Ebene \(E\).
2. Lösungsansatz: Lotgerade durch \(H\) auf die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene
Planskizze: Die Lotgerade \(\ell\) auf die \(x_{1}x_{2}-Ebene\), welche durch den Punkt \(H\) verläuft, schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S\). Ein Vergleich der \(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(S\) lässt auf die Lage des Punktes \(H\) bezüglich der Ebene \(E\) schließen. Der Punkt \(H\) liegt unterhalb der Ebene \(E\), wenn \(x_{3_{H}} < x_{3_{S}}\) gilt.
Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) aufstellen:
Die Lotgerade \(\ell\) auf die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene mit \(H \in \ell\) ist durch den Ortsvektor \(\overrightarrow{H}\) und einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eindeutig bestimmt.
\(H(50|70|15)\), \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{H} + \mu \cdot \overrightarrow{n}, \; \mu \in \mathbb R\]
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R\]
Schnittpunkt \(S\) der Lotgeraden \(\ell\) mit der Ebene \(E\) ermitteln:
\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]
\[\begin{align*} \ell \cap E \colon 70 + 5 \cdot (15 + \mu) - 150 &= 0 \\[0.8em] 70 + 75 + 5\mu - 150 &= 0 \\[0.8em] 5\mu - 5 &= 0 & &| + 5 \\[0.8em] 5\mu &= 5 & &| : 5 \\[0.8em] \mu &= 1 \end{align*}\]
Parameterwert \(\mu = 1\) in die Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) einsetzen:
\[S \in \ell: \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \\ 15 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 70 \\ 16 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad S(50|70|16)\]
\(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(S\) vergleichen:
\(H(50|70|15)\), \(S(50|70|16)\)
\[\Longrightarrow \quad X_{3_{H}} < x_{3_{S}}\]
Damit liegt der Punkt \(H\) unterhalb der Ebene \(E\).
