Teilaufgabe d

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H(50|70|15)\) beschrieben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt.

(Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\))

(7 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Ebenengleichung in Normalenform, Lotgerade, Schnittpunkt Gerade - Ebene

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform

Die linear unabhängigen Verbindungsvektoren der Punkte W₁ und W₂ bzw. W₁ und K₂ legen beispielsweise die Ebene E fest.

Beispielsweise legen die beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{W_{1}W_{2}}\) und \(\overrightarrow{W_{1}K_{2}}\) die Ebene \(E\) fest. Das Vektorprodukt der Verbindungsvektoren liefert einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\). Als Aufpunkt wählt man einen der gegebenen Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) oder \(K_{2}\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform angeben. Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen. Die Aufgabenstellung nennt als mögliches Ergebnis eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

 

Linear unabhängige Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{W_{1}W_{2}}\) und \(W_{1}K_{2}\) bestimmen:

 

\(W_{1}(0|0|30)\), \(W_{2}(90|0|30)\), \(K_{2}(51|100|10)\)

 

\[\overrightarrow{W_{1}W_{2}} = \overrightarrow{W_{2}} - \overrightarrow{W_{1}} = \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{W_{1}K_{2}} = \overrightarrow{K_{2}} - \overrightarrow{W_{1}} = \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ -20 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ermitteln:

\[\begin{align*} \overrightarrow{W_{1}W_{2}} \times \overrightarrow{W_{1}K_{2}} &= \begin{pmatrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 51 \\ 100 \\ -20 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-2) & - & 0 & \cdot & 100 \\ 0 & \cdot & 51 & - & 90 & \cdot & (-20) \\ 90 & \cdot & 100 & - & 0 & \cdot & 51 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 90 \cdot 20 \\ 90 \cdot 100 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 90 \cdot 20 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform formulieren:

 

1. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(W_{1}\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(W_{1}(0|0|30)\)

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{W_{1}} \right) = 0\]

\[E \colon \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Ggf. wandelt man die Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung in die Koordinatendarstellung um. Hierfür wird das Skalarprodukt ausmultipliziert.

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_{1} - 0) + 1 \cdot (x_{2} - 0) + 5 \cdot (x_{3} - 30) &= 0 \\[0.8em] x_{2} + 5x_{3} - 150 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]

 

2. Möglichkeit: Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Es sei \(W_{1}\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(W_{1}(0|0|30)\)

 

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[E \colon x_{2} + 5x_{3} + n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*}W_{1} \in E \colon 0 + 5 \cdot 30 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 150 + n_{0} &= 0 & &| -150 \\[0.8em] n_{0} &= -150 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]

 

Nachweis, dass der Punkt \(H\) unterhalb der Ebene \(E\) liegt

 

1. Lösungsansatz: Punktprobe \(P \in E\) eines Punktes \(P\) vertikal zu \(H\)

 

Punkt P vertikal zu H, der in der Ebene E liegt

Ein Punkt \(P\), der vertikal zu Punkt \(H\) und in der Ebene \(E\) liegt, hat die gleiche \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate wie Punkt \(H\). Mithilfe einer Punktprobe \(P \in E\) lässt sich die \(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(P\) ermitteln. Ein Vergleich der \(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(P\) lässt auf die Lage des Punktes \(H\) bezüglich der Ebene \(E\) schließen. Der Punkt \(H\) liegt unterhalb der Ebene \(E\), wenn \(x_{3_{H}} < x_{3_{P}}\) gilt.

 

\[H(50|70|15) \quad \Longrightarrow \quad P(50|70|p_{3})\]

 

Koordinate \(p_{3}\) durch Punktprobe \(P \in E\) ermitteln:

 

\[P(50|70|p_{3})\]

\[E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]

 

\[\begin{align*}P \in E \colon 70 + 5 \cdot p_{3} - 150 &= 0 \\[0.8em] 5p_{3} - 80 &= 0 & &| + 80 \\[0.8em] 5p_{3} &= 80 & &| : 5 \\[0.8em] p_{3} &= 16 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad P(50|70|16)\]

 

\(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(P\) vergleichen:

 

\(H(50|70|15)\), \(P(50|70|16)\)

 

\[\Longrightarrow \quad X_{3_{H}} < x_{3_{P}}\]

 

Damit liegt der Punkt \(H\) unterhalb der Ebene \(E\).

 

2. Lösungsansatz: Lotgerade durch \(H\) auf die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene

 

Schnittpunkt S der Lotgeraden ℓ auf die x₁x₂-Ebene durch den Punkt H mit der Ebene E

Planskizze: Die Lotgerade \(\ell\) auf die \(x_{1}x_{2}-Ebene\), welche durch den Punkt \(H\) verläuft, schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S\). Ein Vergleich der \(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(S\) lässt auf die Lage des Punktes \(H\) bezüglich der Ebene \(E\) schließen. Der Punkt \(H\) liegt unterhalb der Ebene \(E\), wenn \(x_{3_{H}} < x_{3_{S}}\) gilt.

 

Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) aufstellen:

Die Lotgerade \(\ell\) auf die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene mit \(H \in \ell\) ist durch den Ortsvektor \(\overrightarrow{H}\) und einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eindeutig bestimmt.

 

\(H(50|70|15)\), \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{H} + \mu \cdot \overrightarrow{n}, \; \mu \in \mathbb R\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \mu \in \mathbb R\]

 

Schnittpunkt \(S\) der Lotgeraden \(\ell\) mit der Ebene \(E\) ermitteln:

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \\ 15 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\]

 

\[\begin{align*} \ell \cap E \colon 70 + 5 \cdot (15 + \mu) - 150 &= 0 \\[0.8em] 70 + 75 + 5\mu - 150 &= 0 \\[0.8em] 5\mu - 5 &= 0 & &| + 5 \\[0.8em] 5\mu &= 5 & &| : 5 \\[0.8em] \mu &= 1 \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\mu = 1\) in die Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) einsetzen:

 

\[S \in \ell: \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \\ 15 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 70 \\ 16 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S(50|70|16)\]

 

\(x_{3}\)-Koordinaten der Punkte \(H\) und \(S\) vergleichen:

 

\(H(50|70|15)\), \(S(50|70|16)\)

 

\[\Longrightarrow \quad X_{3_{H}} < x_{3_{S}}\]

 

Damit liegt der Punkt \(H\) unterhalb der Ebene \(E\).

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