Teilaufgabe 1c

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt 50 %. Felix hat 100 Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als 50 % war. Er folgert: „Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den nächsten 100 Drehungen deutlich größer als 50 % sein." Beurteilen Sie die Aussage von Felix.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Bernoulli-Experiment, Binomialverteilte Zufallsgröße, Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

 

Grundsätzlich lassen sich die Ergebnisse eines Zufallsexperiments nicht vorhersagen sondern sind zufallsbedingt.

Ein Durchgang des vorliegenden Zufallsexperiments besteht aus dem Beobachten der Ergebnisse von 100 Drehungen des Glücksrads.

Das Ereignis „Gelber Sektor wird getroffen" tritt mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) ein (vgl. Angabe). Da nur zwischen den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen „Gelber Sektor wird getroffen" und „Gelber Sektor wird nicht getroffen" unterschieden wird, liegt ein Bernoulli-Experiment mit der Länge der Bernoulli-Kette \(n = 100\) vor.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl beschreibt, wie oft das Ereignis „Gelber Sektor wird getroffen" eintritt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;0{,}5)\) binomialverteilt.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) kann mit \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}5 = 50\) angegeben werden. Würde Felix hinreichend oft 100 Drehungen des Glücksrads beobachten, würde er feststellen, dass sich der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, um den Wert \(\frac{50}{100} = 50\,\%\) stabilisiert.

Fazit:

Es richtig, zu erwarten, dass bei oftmaligem Wiederholen des Zufallsexperiments der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, im Mittel 50 % beträgt.

Die Aussage von Felix ist aber falsch, weil sich das Ergebnis des Zufallsexperiments weder bei der zweiten noch bei irgend einer weiteren Wiederholung vorhersagen lässt.

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