Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABCD\) ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).
(4 BE)
Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABCD\) ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).
(4 BE)
Eigenschaften eines Rechtecks:
Planskizze: Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, wenn zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind, und außerdem zwei anliegende Seiten einen rechten Winkel einschließen.
Beispielsweise ist zu überprüfen: \(\overline{AD} = \overline{BC}; \; [AD] \parallel [BC]\) sowie \(\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{AB}\)
Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{AB}\) bestimmen:
\(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\), \(D(-6|2|5)\)
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \quad \Longrightarrow \quad \overline{AD} = \overline{BC}; \; [AD] \parallel [BC]\]
Orthogonalität der Seiten \([AD]\) und \([AB]\) nachweisen:
Die Seiten \([AD]\) und \([AB]\) sind zueinander senkrecht, wenn das Skalarprodukt der Vektoren \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AB}\) gleich Null ist.
\[\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{AB} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB} = 0\]
\[\begin{align*} \overline{AD} \circ \overline{AB} &= \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= (-6) \cdot 2 + 2 \cdot 6 + 4 \cdot 0 \\[0.8em] &= -6 + 6 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{AB} \quad \Longrightarrow \quad [AD] \perp [AB]\]
Schlussfolgerung:
Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck.
Planskizze: Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, wenn die Diagonalen \([AC]\) und \([BD]\) gleich lang sind.
Zu überprüfen: \(\overline{AC} = \overline{BD}\)
Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AC}\) und \(\overrightarrow{BD}\) bestimmen:
\(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\), \(D(-6|2|5)\)
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Längen der Diagonalen \([AC]\) und \([BD]\) überprüfen:
\[\begin{align*}\overline{AC} &= \vert \overrightarrow{AC} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-4)^{2} + 8^{2} + 4^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{96} \\[0.8em] &= 4\sqrt{6}\end{align*}\]
\[\begin{align*}\overline{BD} &= \vert \overrightarrow{AC} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-8)^{2} + (-4)^{2} + 4^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{96} \\[0.8em] &= 4\sqrt{6}\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overline{AC} = \overline{BD}\]
Schlussfolgerung:
Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck.
Anmerkung:
Die beiden vorgestellten Möglichkeiten für den Nachweis, dass ein Viereck \(ABCD\) ein Rechteck ist, schließen ein Quadrat als Sonderfall eines Rechtecks mit ein.
Soll ausdrücklich nachgewiesen werden, dass ein Viereck \(ABCD\) ein Quadrat ist, sind folgende Zusatzbedingungen zu überprüfen:
\(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\), \(D(-6|2|5)\)
Es wird die Diagonale \([AC]\) oder \([BD]\) betrachtet:
\[\begin{align*}\overrightarrow{M} &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\begin{align*}\overrightarrow{M} &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]